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RELATIVITÉ GÉNÉRALISÉE

D’après une propriété des déterminants on a :

(11-9)

$g_{\mu \nu }g^{\nu \sigma }=1\;$ou$\;0$ selon que $\mu =\nu$ ou $\mu \neq \nu .$

Posons $g_{\mu \sigma }g^{\nu \sigma }=g_{\mu }^{\nu }.$ $g_{\mu }^{\nu }$ est le tenseur mixte fondamental. Il jouit de la propriété d’avoir les mêmes composantes (égales à 1 pour $\mu =\nu$ et à 0 pour $\mu \neq \nu$) dans tous les systèmes.

Remarquons qu’en contractant ce tenseur nous obtenons

(11-10)

$g_{\mu }^{\mu }=g_{1}^{1}+g_{2}^{2}+g_{3}^{3}+g_{4}^{4}=4.$

Remarquons aussi que $g_{\mu }^{\nu }$ est un opérateur de substitution, car

(11-11)

$g_{\mu }^{\nu }\mathrm {A} ^{\mu }=\mathrm {A} ^{\nu }+0+0+0.$

8^o TENSEURS ASSOCIÉS. — Les trois tenseurs fondamentaux permettent de transformer les tenseurs par multiplication intérieure, c’est-à-dire de construire de nouveaux tenseurs en faisant passer à volonté un indice de bas en haut et inversement. Les trois tenseurs contrevariant, mixte et covariant

(11-12)

$\mathrm {A} ^{\mu \nu },\;$ $\mathrm {A} _{\mu }^{\nu }=g_{\mu \alpha }\mathrm {A} ^{\nu \alpha }\;(\alpha$ est indice muet$),\;$ $\mathrm {A} _{\mu \nu }=g_{\mu \alpha }\mathrm {A} _{\nu }^{\alpha }$

sont dits tenseurs associés.

Tout tenseur d’ordre pair permet de former un invariant appelé invariant contracté ; il suffit d’amener la moitié des indices en haut, la moitié en bas et de contracter complètement.

9^o LONGUEUR GÉNÉRALISÉE. CONDITION D’ORTHOGONALITÉ. — Dans la théorie vectorielle ordinaire (3 dimensions) le produit scalaire de deux vecteurs $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ est :

(11-13)

$\mathrm {A} _{x}\mathrm {B} _{x}+\mathrm {A} _{y}\mathrm {B} _{y}+\mathrm {A} _{z}\mathrm {B} _{z}=\mathrm {A} _{\mu }\mathrm {B} _{\mu }$