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RELATIVITÉ GÉNÉRALISÉE

(11-26)

$d(\log g)=-g_{\mu \nu }dg^{\mu \nu }=g^{\mu \nu }dg_{\mu \nu }$

(11-27)

${\begin{Bmatrix}\mu \rho \\\rho \\\end{Bmatrix}}={\frac {\partial \log {\sqrt {-g}}}{\partial x_{\mu }}}.$

14^o DIVERGENCE. — Dans la théorie vectorielle ordinaire, on appelle divergence le scalaire

(11-28)

${\frac {\partial \mathrm {A} _{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial \mathrm {A} _{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial \mathrm {A} _{z}}{\partial z}}\quad$ ou $\quad {\frac {\partial \mathrm {A} _{\mu }}{\partial x_{\mu }}}$

La généralisation est immédiate. Pour un quadrivecteur contrevariant, la divergence est la dérivée covariante contractée $\mathrm {A} _{\mu }^{\mu }$ (scalaire).

Introduisant la densité tensorielle, et tenant compte de (11-27)

(11-29)

${\mathcal {A}}_{\mu }^{\mu }={\frac {\partial {\mathcal {A}}^{\mu }}{\partial x_{\mu }}}.$

La divergence d’un tenseur du second ordre est, de même, la dérivée covariante contractée : c’est un quadrivecteur.

a) Tenseur mixte $\mathrm {A} _{\mu }^{\nu }$. — La divergence est $\mathrm {A} _{\mu \nu }^{\nu }$ ($\nu$ devient indice muet)

(11-30)

$\mathrm {A} _{\mu \nu }^{\nu }={\frac {\partial \mathrm {A} _{\mu }^{\nu }}{\partial x_{\nu }}}+{\begin{Bmatrix}\varepsilon \nu \\\nu \\\end{Bmatrix}}\mathrm {A} _{\mu }^{\varepsilon }-{\begin{Bmatrix}\mu \nu \\\varepsilon \\\end{Bmatrix}}\mathrm {A} _{\varepsilon }^{\nu }$

ou

(11-31)

${\mathcal {A}}_{\mu \nu }^{\nu }={\frac {\partial \mathrm {A} _{\mu }^{\nu }}{\partial x_{\nu }}}-{\begin{Bmatrix}\mu \nu \\\varepsilon \\\end{Bmatrix}}{\mathcal {A}}_{\varepsilon }^{\nu }$

expression qui, lorsque $\mathrm {A} _{\mu \nu }$ est symétrique, se simplifie

(11-32)

${\mathcal {A}}_{\mu \nu }^{\nu }={\frac {\partial {\mathcal {A}}_{\mu }^{\nu }}{\partial x_{\nu }}}-{\frac {1}{2}}{\frac {\partial g_{\sigma \rho }}{\partial x_{\mu }}}{\mathcal {A}}^{\sigma \rho }={\frac {\partial {\mathcal {A}}_{\mu }^{\nu }}{\partial x_{\nu }}}+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial g^{\sigma \rho }}{\partial x_{\mu }}}{\mathcal {A}}_{\sigma \rho }$

11. BECQUEREL