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RELATIVITÉ GÉNÉRALISÉE

(11-35)

${\begin{aligned}\mathrm {R} _{\mu \nu \sigma }^{\sigma }=\mathrm {R} _{\mu \nu }=&-{\frac {\partial }{\partial x_{\rho }}}\!{\begin{Bmatrix}\mu \nu \\\rho \\\end{Bmatrix}}+{\begin{Bmatrix}\mu \rho \\\varepsilon \\\end{Bmatrix}}\!{\begin{Bmatrix}\nu \varepsilon \\\rho \\\end{Bmatrix}}\\&+{\frac {\partial }{\partial x_{\nu }}}\!{\begin{Bmatrix}\mu \rho \\\rho \\\end{Bmatrix}}-{\begin{Bmatrix}\mu \nu \\\varepsilon \\\end{Bmatrix}}\!{\begin{Bmatrix}\varepsilon \rho \\\rho \\\end{Bmatrix}}\cdot \end{aligned}}$

($\rho$ et $\varepsilon$ sont des indices muets)

qu’on peut écrire, en utilisant (11-27)

(11-36)

${\begin{array}{|c|}\hline {\begin{aligned}\mathrm {R} _{\mu \nu }=-{\dfrac {\partial }{\partial x_{\rho }}}\!{\begin{Bmatrix}\mu \nu \\\rho \\\end{Bmatrix}}\!&+{\begin{Bmatrix}\mu \rho \\\varepsilon \\\end{Bmatrix}}\!{\begin{Bmatrix}\nu \varepsilon \\\rho \\\end{Bmatrix}}\\&+{\dfrac {\partial ^{2}\!\log {\sqrt {-g}}}{\partial x_{\mu }\,\partial x_{\nu }}}-{\begin{Bmatrix}\mu \nu \\\varepsilon \\\end{Bmatrix}}\!{\dfrac {\partial \log {\sqrt {-g}}}{\partial x_{\varepsilon }}}\cdot \end{aligned}}\\\hline \end{array}}$

Les deux derniers termes disparaissent si l’on choisit les coordonnées de manière que ${\sqrt {-g}}=1$,

Enfin, en multipliant par $g^{\mu \nu }$ on forme l’invariant contracté

(11-37)

$\mathrm {R} =g^{\mathrm {\mu \nu } }\mathrm {R_{\mu \nu }}$

qu’on démontre être une généralisation de la courbure de Gauss.

Note 12.

Gravitation et dynamique.

1^o LOI DE LA GRAVITATION DANS LE VIDE. — Si l’Univers est euclidien, et si l’on prend des coordonnées galiléennes, toutes les composantes de $\mathrm {R_{\mu \nu \sigma }^{\rho }}$, s’annulent car tous les symboles de Christoffel sont nuls. Mais alors ces composantes s’annulent aussi dans tout autre système de coordonnées (propriété fondamentale des tenseurs, les équations de transformation des composantes étant linéaires et homogènes). L’annulation du tenseur de Riemann-Christoffel est donc une condition nécessaire pour que l’Univers soit euclidien. On démontre que cette condition est suffisante.