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APPENDICE

Les corrections sont expliquées en page de discussion

vide, remplacent l’équation de Laplace

\mathrm {\Delta \Omega =0\quad \left(\Delta ={\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\right)\quad \Omega }

potentiel newtonien.

Il s’agit maintenant de trouver l’équation qui doit remplacer l’équation de Poisson

\mathrm {\Delta \Omega =4\pi G\rho } \quad

(

\mathrm {\rho }

densité,

\mathrm {G}

const. de la gravit. newt.).

La densité est l’énergie par unité de volume divisée par $c^{2}$ . Or l’impulsion-énergie trouve son expression la plus générale dans un tenseur qui précisément se réduit à $\mathrm {\rho }$ dans le cas de la matière au repos, en coordonnées galiléennes. C’est ce tenseur qui doit remplacer $\mathrm {\rho }$ .

a) Le tenseur impulsion-énergie. — Les trois tenseurs d’impulsion-énergie associés ont pour expressions

(12-6)

\mathrm {T^{\mu \nu }} =\rho _{0}{\frac {dx_{\mu }}{ds}}{\frac {dx_{\nu }}{ds}}

(

\rho _{0}

, densité au repos ou densité propre)

(12-7)

\mathrm {T_{\mu }^{\nu }=} g_{\mu \sigma }\mathrm {T^{\sigma \nu }} =g_{\mu \sigma }\rho _{0}{\frac {dx_{\sigma }}{ds}}{\frac {dx_{\nu }}{ds}}

(12-8)

\mathrm {T_{\mu \nu }} =g_{\mu \sigma }g_{\nu \tau }\mathrm {T^{\sigma \tau }} =g_{\mu \sigma }g_{\nu \tau }\rho _{0}{\frac {dx_{\sigma }}{ds}}{\frac {dx_{\tau }}{ds}}

$\mathrm {T} ^{\mu \nu }$ et $\mathrm {T} _{\mu \nu }$ sont symétriques. En coordonnées galiléennes $x_{1},$ $x_{2},$ $x_{3},$ $x_{4}=ct,$ les composantes de $\mathrm {T} _{\mu }^{\nu }$ sont les suivantes.