Page:Becquerel - Exposé élémentaire de la théorie d’Einstein et de sa généralisation.djvu/186

182

APPENDICE

(14-8)

${\begin{cases}{\dfrac {\partial \mathrm {F} ^{12}}{\partial x_{2}}}+{\dfrac {\partial \mathrm {F} ^{13}}{\partial x_{3}}}+{\dfrac {\partial \mathrm {F} ^{14}}{\partial x_{4}}}=u\\{\dfrac {\partial \mathrm {F} ^{21}}{\partial x_{1}}}+{\dfrac {\partial \mathrm {F} ^{23}}{\partial x_{3}}}+{\dfrac {\partial \mathrm {F} ^{24}}{\partial x_{4}}}=v\\{\dfrac {\partial \mathrm {F} ^{31}}{\partial x_{1}}}+{\dfrac {\partial \mathrm {F} ^{32}}{\partial x_{2}}}+{\dfrac {\partial \mathrm {F} ^{34}}{\partial x_{4}}}=w\\{\dfrac {\partial \mathrm {F} ^{41}}{\partial x_{1}}}+{\dfrac {\partial \mathrm {F} ^{42}}{\partial x_{2}}}+{\dfrac {\partial \mathrm {F} ^{43}}{\partial x_{3}}}=\mathrm {P} \end{cases}}$

ou

${\frac {\partial \mathrm {F} ^{\mu \nu }}{\partial x_{\nu }}}=u,\,v,\,w,\,\mathrm {P}$

ce qui prouve que $u,\,v,\,w,\,v,\mathrm {P}$ sont les composantes d’un quadrivecteur contrevariant $\mathrm {J} ^{\mu }$ car ${\frac {\partial \mathrm {F} ^{\mu \nu }}{\partial x_{\nu }}}$ est la forme dégénérée de la divergence $\mathrm {F} _{\nu }^{\mu \nu }$ qui est un quadrivecteur contrevariant.

Le quadrivecteur $\mathrm {J} ^{\mu }$ est le courant. Ses composantes d’espace constituent le courant de convection et sa composante de temps est la densité de charge.

En résumé les équations de Maxwell s’écrivent

(14-9)

$\left\{{\begin{aligned}\mathrm {F} _{\mu \nu }&={\dfrac {\partial \varphi _{\mu }}{\partial x_{\nu }}}-{\dfrac {\partial \varphi _{\nu }}{\partial x_{\mu }}}\\{\dfrac {\partial \mathrm {F} ^{\mu \nu }}{\partial x_{\nu }}}&=\mathrm {J} ^{\mu }\end{aligned}}\right.$

La première équation est sous la forme requise par le principe de relativité ; la seconde est la forme dégénérée de $\mathrm {F} _{\nu }^{\mu \nu }=\mathrm {J} ^{\mu }$. Les équations générales valables dans un Univers euclidien en coordonnées arbitraires, valables aussi