et de déterminer comment ils varient en fonction des coordonnées. Gauss a montré que la géométrie d’une surface est entièrement déterminée quand on connaît ces fonctions et que les lois de cette géométrie s’expriment d’une façon indépendante des coordonnées.
Il est évident que la distance de deux points déterminés, infiniment voisins l’un de l’autre, est un invariant, c’est-à-dire a une valeur indépendante du système de coordonnées, puisque cette distance peut être assimilée à un élément de ligne droite dans le plan tangent. Considérons maintenant deux points et et une ligne courbe quelconque tracée sur la surface entre ces points : la longueur de l’arc de courbe entre et est (comme nous l’avons dit p. 54) l’intégrale l’arc de courbe élémentaire assimilé en chaque point de la courbe à un élément de droite dans le plan tangent en ce point, est donné par la formule (17) ; il a une valeur indépendante des coordonnées choisies : l’intégrale, c’est-à-dire la longueur de l’arc de courbe est, par suite, un invariant pour toute transformation de coordonnées.
Sur toute surface, il existe des lignes de plus courte distance qu’on nomme les géodésiques (sur le plan ce sont les droites, sur la surface d’une sphère ce sont les grands cercles, etc.). Si l’on exprime mathématiquement qu’une ligne jouit de la propriété d’être la plus courte entre deux quelconques de ses points, c’est-à-dire que l’intégrale (où maintenant l’on ne spécifie plus les deux points et ) est minimum, on obtient une équation qui est l’équation générale des géodésiques. Dans un changement du système de coordonnées, l’équation des géodésiques reste la même, à condition, bien entendu, que les aient les nou-
