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chapitre IX. — dynamique de la relativité.

Le premier membre s’écrit

${\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}\!&\left({\frac {m_{0}}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}\right)\left[\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{\!2}\!+\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{\!2}\!+\left({\frac {dz}{dt}}\right)^{\!2}\right]\\&+{\frac {m_{0}}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}\left({\frac {dx}{dt}}{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+{\frac {dy}{dt}}{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+{\frac {dz}{dt}}{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}\right)\end{aligned}}$

ou, en remarquant que

$\beta ^{2}={\frac {1}{c^{2}}}\left[\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{\!2}\!+\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{\!2}\!+\left({\frac {dz}{dt}}\right)^{\!2}\right],$

${\begin{aligned}c^{2}\beta ^{2}{\frac {d}{dt}}{\frac {m_{0}}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}+c^{2}\beta &{\frac {m_{0}}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}{\frac {d\beta }{dt}}\\&=m_{0}c^{2}\left[{\begin{array}{c}{\dfrac {\beta ^{3}}{\left(1-\beta ^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}+{\dfrac {\beta }{\left(1-\beta ^{2}\right)^{\frac {1}{2}}}}\end{array}}\right]{\frac {d\beta }{dt}}\\[0.75ex]&=m_{0}c^{2}{\frac {\beta }{\left(1-\beta ^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}{\frac {d\beta }{dt}}\\&={\frac {d}{dt}}\!\left({\frac {m_{0}c^{2}}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}\right)\\&={\frac {d}{dt}}\!\left({\frac {m_{0}c^{2}}{\alpha }}\right)\cdot \end{aligned}}$

Finalement, l’équation (12-9) prend la forme simple

(13-9)

$\;{\frac {d}{dt}}\!\left({\frac {m_{0}c^{2}}{\alpha }}\right)={\frac {d}{dt}}\!\left(mc^{2}\right)=\mathrm {F} _{x}{\frac {dx}{dt}}+\mathrm {F} _{y}{\frac {dy}{dt}}+\mathrm {F} _{z}{\frac {dz}{dt}}={\frac {d\mathrm {W} }{dt}},$

$d\mathrm {W}$ étant le travail de la force ou l’énergie fournie au point matériel. Intégrant, on a

(14-9)

$mc^{2}=\mathrm {W} +\mathrm {const.}$

La variation de la masse est proportionnelle à la variation d’énergie.

L’énergie cinétique acquise par le point matériel en passant, dans le système $\mathrm {S} ,$ de l’état de repos à la vitesse $v$ est donc

(15-9)	$(m-m_{0})c^{2}=m_{0}c^{2}\,$	${\begin{pmatrix}{\dfrac {1}{\sqrt {1-{\dfrac {v^{2}}{c^{2}}}}}}-1\end{pmatrix}}$
		$={\frac {1}{2}}m_{0}v^{2}\left(1+{\frac {3}{4}}{\frac {v^{2}}{c^{2}}}+\dots \right),$

formule qui donne, en première approximation, l’expression habituelle de l’énergie cinétique ${\frac {1}{2}}m_{0}v^{2}\cdot$

Ainsi, il y a identité, au facteur $c^{2}$ près, entre la variation de la