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deuxième partie. — la relativité généralisée.

principe d’équivalence est applicable, c’est-à-dire si nous pouvons, pour le phénomène de la propagation, remplacer en chaque point d’Univers l’Univers réel par l’Univers euclidien tangent. D’après ce que nous verrons plus loin (n^o 77), il en est bien ainsi parce que les dérivées des $g_{\mu \nu }$ d’ordre supérieur au premier ne figurent pas dans (45-13).

70. Signification de la dérivée covariante.
Déplacement parallèle.

Soit $\mathrm {A}$ un vecteur que nous supposerons d’abord, comme dans la théorie ordinaire, tridimensionnel dans un espace euclidien ; prenons des coordonnées galiléennes : si nous déplaçons ce vecteur sans le faire varier, parallèlement à lui-même, la dérivée ${\frac {\partial \mathrm {A} _{\mu }}{\partial x_{\nu }}}$ est nulle. C’est ainsi que dans un champ de vecteur uniforme, on a en tout point ${\frac {\partial \mathrm {A} _{\mu }}{\partial x_{\nu }}}=0.$ Mais si le champ n’est pas uniforme, la dérivée n’est pas nulle et ${\frac {\partial \mathrm {A} _{\mu }}{\partial x_{\nu }}}$ donne le taux de variation du vecteur suivant la direction $x_{\nu }.$ Ce résultat s’étend évidemment à un quadrivecteur pourvu que l’espace-temps soit euclidien et que les coordonnées soient galiléennes.

Si les coordonnées ne sont pas galiléennes (espace-temps euclidien ou non euclidien), la dérivée ordinaire ne peut plus représenter le taux de variation absolue, car il se produit une pseudo-variation due à la nature curviligne des coordonnées^[1]. Un tenseur seul peut donner le taux de variation absolue et ce tenseur est nécessairement la dérivée covariante puisqu’il doit se réduire à la dérivée ordinaire quand les coordonnées sont galiléennes (symboles de Christoffel nuls). Soit alors $\mathrm {A} ^{\mu }$ un quadrivecteur contrevariant (ou $\mathrm {A} _{\mu }$ un quadrivecteur covariant) ; la dérivée covariante $\mathrm {A} _{\nu }^{\mu }$ (ou $\mathrm {A} _{\mu \nu }$) est formée du terme ${\frac {\partial \mathrm {A} ^{\mu }}{\partial x_{\nu }}}$ ${\bigg (}$ou ${\frac {\partial \mathrm {A} _{\mu }}{\partial x_{\nu }}}{\bigg )}$ qui mesure le taux de variation apparente, auquel il faut ajouter le terme ${\begin{Bmatrix}\alpha \nu \\\mu \end{Bmatrix}}\mathrm {A} ^{\alpha }$ ${\bigg (}$ou le terme $-{\begin{Bmatrix}\mu \nu \\\alpha \end{Bmatrix}}\mathrm {A} _{\alpha }{\bigg )}$ attribuable à la courbure

1. Par exemple, dans un champ de force uniforme, les composantes polaires de la force varient d’un point à l’autre.