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deuxième partie. — la relativité généralisée.

forment comme les $dx_{\mu }$ et constituent par suite un quadrivecteur contrevariant^[1].

En résumé les équations de Maxwell s’écrivent :

Premier groupe (4-15), (6-15), (8-15).

(15-15)

$\left\{{\begin{aligned}&{\dfrac {\partial \mathrm {F} _{\mu \nu }}{\partial x_{\sigma }}}+{\dfrac {\partial \mathrm {F} _{\nu \sigma }}{\partial x_{\mu }}}+{\dfrac {\partial \mathrm {F} _{\sigma \mu }}{\partial x_{\nu }}}=0,\\[0.75ex]&{\text{ou}}\\&\mathrm {F} _{\mu \nu }={\dfrac {\partial \varphi _{\mu }}{\partial x_{\nu }}}-{\dfrac {\partial \varphi _{\nu }}{\partial x_{\mu }}}\cdot \end{aligned}}\right.$

Deuxième groupe (5-15), (12-15).

(16-15)

${\frac {\partial \mathrm {F} ^{\mu \nu }}{\partial x_{\nu }}}=\mathrm {J} ^{\mu }.$

Jusqu’à présent, nous avons des coordonnées galiléennes. Il s’agit de trouver les relations générales valables dans un système de coordonnées arbitraires et se réduisant aux précédentes pour un système galiléen. La généralisation est immédiate ; l’équation (15-15) est covariante : elle subsiste dans tous les systèmes ; quant à l’équation (16-15), c’est la forme dégénérée de $\mathrm {F} _{\nu }^{\mu \nu }=\mathrm {J} ^{\mu }\,;$ il suffit, pour avoir la relation tensorielle générale, de remplacer ${\frac {\partial \mathrm {F} ^{\mu \nu }}{\partial x_{\nu }}}$ par la divergence $\mathrm {F} _{\nu }^{\mu \nu }.$

Les équations générales de l’électromagnétisme sont donc les suivantes :

(17-15)

${\begin{aligned}\mathrm {F} _{\mu \nu }&={\dfrac {\partial \varphi _{\mu }}{\partial x_{\nu }}}-{\dfrac {\partial \varphi _{\nu }}{\partial x_{\mu }}}\\\mathrm {F} _{\nu }^{\mu \nu }&=\mathrm {J} ^{\mu }\end{aligned}}$

$\varphi _{\mu }$ étant le quadrivecteur potentiel et $\mathrm {J} ^{\mu }$ le quadrivecteur densité de courant-densité de charge.

Telle est la généralisation des équations de Maxwell-Lorentz.

Ces équations sont valables dans un champ de gravitation permanent (Univers non euclidien) parce que les conditions d’application du principe d’équivalence (n^o 77) sont remplies.

1. Inversement, $\mathrm {J} ^{\mu }$ étant un quadrivecteur contrevariant d’après ce qui précède, $\mathrm {P} {\frac {ds}{dx_{1}}}$ est un invariant, ce qui prouve que la charge du volume propre est invariante. C’est une nouvelle manière d’établir ce résultat.