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Par contre, au groupe des transformations $T$ qui ne déplacent pas la droite $l$ correspond un groupe $V$ de transformations $R$ par lesquelles à chaque semi-plan correspond un semi-plan, de même qu’à chaque semi-cône de révolution un semi-cône pareil^[1]. Toute correspondance entre semi-plans par laquelle à des semi-plans passant par une droite $c_{\infty }$ correspondent des semi-plans passant encore par une droite $c_{\infty }$ est contenue dans ce groupe $V$ . Les propriétés des figures de l’espace inaltérables par les transformations $V$ intéressent la géométrie des semi-plans. Cette géométrie a donc sa place marquée à côté de la géométrie des rayons vecteurs réciproques.

5. Parmi les correspondances $V$ entre semi-plans, il convient de remarquer particulièrement celles qui proviennent de transformations $T=SVS^{-1}$ dans lesquelles toutes les droites appuyées sur deux droites $p_{1}$ , $p_{2}$ qui rencontrent $l$ correspondent à elles-mêmes.

Dans une pareille correspondance entre semi-plans, il y a deux semi-plans fondamentaux $\pi _{1}$ , $\pi _{2}$ , qui correspondent à eux-mêmes. Toute semi-sphère qui touche $\pi _{1}$ et $\pi _{2}$ correspond à elle-même. Deux semi-plans correspondants sont tangents à un même semi-cône de révolution touchant les deux plans fondamentaux ; ces deux couples de semi-plans déterminent sur le semi-cône un rapport anharmonique constant et qui est le même pour tout couple de semi-plans correspondants.

La correspondance par directions réciproques, étudiée par M. Laguerre, dans la Note citée, est un cas particulier de ces correspondances. On l’obtient, en effet, en supposant que les deux semi-plans fondamentaux viennent à devenir opposés, ce qui arrive dans le cas où les deux droites $p_{1}$ et $p_{2}$ , auxquelles correspondent dans $S$ les plans $\pi _{1}$ et $\pi _{2}$ , deviennent polaires l’une de l’autre par rapport au complexe $L$ . Si les deux droites $p_{1}$ et $p_{2}$ s’approchent infiniment de la droite $l$ , tout en appartenant au complexe $L$ , la transformation par direction réciproque devient une dilatation.

↑ Nous ne savons pas si ce sous-groupe $V$ a attiré jusqu’ici l’attention. Nous trouvons cependant que M. Lie a déjà remarqué que les transformations $R$ qui correspondent à des transformations $T$ laissant invariables le complexe $L$ et la droite $l$ , et qui sont ainsi communes aux deux sous-groupes $U$ et $V$ , constituent les homographies qui font glisser le cercle $C_{\infty }$ sur lui-même.

[1] Nous ne savons pas si ce sous-groupe $V$ a attiré jusqu’ici l’attention. Nous trouvons cependant que M. Lie a déjà remarqué que les transformations $R$ qui correspondent à des transformations $T$ laissant invariables le complexe $L$ et la droite $l$ , et qui sont ainsi communes aux deux sous-groupes $U$ et $V$ , constituent les homographies qui font glisser le cercle $C_{\infty }$ sur lui-même.

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