SÉANCE DU Io JANVIER 19m. 87
Modilions a.[.1r (v)] dans l’intervalle considéré, de façon qu’elle devienne linéaire dans Cliacun des intervalles [N .1‘0— o ), v( d'0], |e( 1'” + 0 ), t‘(1‘o)|; nous obtenons ainsi une fonction ,30!) continue et a variation totale égale à e dans (o, v). Or. il est évident qu’on a
I: I- Ill Alftwt]:[l ftw)tlatt.1:).—_f j’[.l'(t)](ll3(t'); n. u seulement cette fois f|.1‘(\e)| n’est plus nécessairement continue, mais peut avoir des points de discontinuité de première espèce; par contre, IÉlu) est continue et l’intégrale de Stieltjes existe. Ur, {5(6) est l’intégrale indéfinie d’une fonction sommablc 0(s) ne prenant que les valeurs +1 et — l, et l’on voit de suite que A\|_/'( es!
égale à .v b)
/' .f[1tv\ eiv>dv;
" (l l'z'nle'grale étant une intégrale de fonction sommable. D’ailleurs, quand a(.z‘-) est donnée, 1(0) et 0(t') sont entiéremeut déterminées, sauf au plus pour un ensemble de valeurs de e de mesure nulle.
La transformation d’une intégrale de Stieltjes en intégrale de fonction
sonnnable peut se faire (le bien d’autres manières, parfois trés simplement,
par exemple, quand 2(x) est une intégrale indéfinie. l’ourle cas général, en
considérant o:( ac) comme la différence de deux fonctions partout croissantes,
on voit qu’étant donnée (2(1‘ ) à variation bornée, on peut trouver (les nom/n‘es
K” K2 et des fonctions continues non. décroicsanles .1', (l), .1‘._,( t) telles que l ’on
azt
b l AUwu=ffowun=[:hnnuu—mnaumm;
on arrive cette fois à une intégrale ordinaire de fonction continué. Un a de
I)lllS .v,(o)-_—_;1:2(o):(t, .z:,(i):.r2(|):l:.
L'intérêt que peuvent présenter ces transformations apparaîtra bien si nous nous en servons pour traduire l’énoncé donné par NI. lliesz.
M. l". ltiesz a prouvé que les intégrales de Stieltjcs qui viennent d’être
considérées sont les seules opérations fonctionnelles quifasseut correspondre
un nombre A a toute fonction f(.1") continue dans (a, Il) et qui
soient linéaires; c’est-à-dire telles que l’égalité]: .‘in, dans laquelle leErreur de référence : Balise <ref> incorrecte : les références sans nom doivent avoir un contenu.
Insérer ici un texte non formaté
