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ACADÉMIE DES SCIENCES.

l’application de cette loi soit légitime, puisqu’elle a été établie pour le cas d’une sphère rigide.

Nous allons montrer que le problème peut se traiter par la méthode même de Stokes, du moins si, comme le faisait d’ailleurs Stokes lui-même, on suppose le mouvement assez lent pour pouvoir négliger les carrés des vitesses.

Les notations adoptées seront (sauf en ce qui regarde la pression, ainsi qu’il sera dit plus loin) celles de Basset (Treatise on Hydrodynamics, t. II, Chap. XX et XXI).

L’indice 1 se rapportera au liquide intérieur de la sphère. Nous désignerons par $\rho ,$ $\rho _{1}$ les deux densités ; par $\mu ,$ $\mu _{1}$ les deux viscosités. Nous aurons à introduire deux fonctions de courant $\psi ,$ $\psi _{1}$ satisfaisant, puisque le mouvement doit être permanent aux équations [Basset, loc. cit., p. 270, formule (39)]

(1)

$\mathrm {D} ^{2}\psi =\mathrm {D} ^{2}\psi _{1}=0,$

où, avec les notations de Basset, p. 262,

(2)

$\mathrm {D} ={\frac {\partial ^{2}}{\partial r^{2}}}+{\frac {\sin \theta }{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left({\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\right)\quad$ [Basset, p. 262, formule (13)].

Les vitesses $\mathrm {R} ,$ $\Theta$ suivant la direction du rayon vecteur et la direction perpendiculaire seront (dans le fluide extérieur) données par les formules [Basskt, p. 261, formule (13)]

(3)

$\mathrm {R} ={\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}{\frac {\partial \psi }{\partial \theta }},\qquad \Theta =-{\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial \psi }{\partial r}}.$

Les vitesses analogues $\mathrm {R} _{1},$ $\Theta _{1}$ du fluide intérieur seront de même

(3’)

$\mathrm {R} _{1}={\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}{\frac {\partial \psi }{\partial \theta }},\qquad \Theta _{1}=-{\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial \psi }{\partial r}}.$

La pression s’évaluera^[1] à l’aide des formules (relatives respectivement aux deux milieux)

(4)

$d\mathrm {Q} ={\frac {\nu }{\rho }}{\frac {1}{r\sin \theta }}\left[r{\frac {\partial \left(\mathrm {D} \psi \right)}{\partial r}}d\theta -{\frac {1}{r}}{\frac {\partial \left(\mathrm {D} \psi \right)}{\partial \theta }}dr\right]=-d\left(gz+{\frac {p}{\rho }}\right),$

(5)

$d\mathrm {Q} _{1}={\frac {\nu _{1}}{\rho _{1}}}{\frac {1}{r\sin \theta }}\left[r{\frac {\partial \left(\mathrm {D} \psi _{1}\right)}{\partial r}}d\theta -{\frac {1}{r}}{\frac {\partial \left(\mathrm {D} \psi _{1}\right)}{\partial \theta }}dr\right]=-d\left(gz+{\frac {p_{1}}{\rho _{1}}}\right),$

[Basset, § 470, p. 243, et p. 262, formule (6)].

1. On s’écarte ici des notations de Basset, p. 271, en explicitant l’influence de la pesanteur. Ce qui, à l’endroit cité de Basset, est désigné par $p,$ est nommé ici $p+\rho gz$ ou $p_{1}+\rho _{1}gz.$