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ACADÉMIE DES SCIENCES.

ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les zéros de la fonction $\zeta (s)$ de Riemann.

Note^[1] de MM. H. Bohr et E. Landau, présentée par M. J. Hadamard.

Dans le Tome XXXVII (1914) des Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, nous déduisons d’un nouveau théorème général sur les séries de Dirichlet le fait suivant : Si $\chi (m)$ désigne un caractère $(\mod .k)$, le nombre $\mathrm {N} (\mathrm {T} )$ des zéros de la fonction.

$\mathrm {L} (s)=\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {\chi (m)}{m^{s}}}$

situés dans le domaine $\sigma \geq {\frac {1}{2}}+\delta ,\;1\leq t\leq \mathrm {T}$ est, quel que soit $\delta$ fixe et positif, $O(\mathrm {T} )$. Aujourd’hui nous allons, en utilisant des propriétés spéciales de $\mathrm {L} (s),$ remplacer ce $O$ par $o.$

Lemme I : Soit $0<r<\mathrm {R} ,\mathrm {A} >0.$ Il existe un nombre $\mathrm {K} =\mathrm {K} (r,\mathrm {R} ,\mathrm {A} )$ ayant la propriété suivante : Toute fonction $\mathrm {F} (z)=\mathrm {F} (u+vi),$ régulière pour $\left|z\right|\leq \mathrm {R}$ et telle que $\mathrm {\left|F(0)\right|} >\mathrm {A} ,$ n’a pas, pour $\left|z\right|\leq r,$ plus de $\mathrm {K} \int \limits _{\left|z\right|}\int \limits _{\leq \mathrm {R} }\left|F(z)-1\right|^{2}\ dudv$ zéros.

Démonstration : Soit $n$ le nombre des zéros appartenant au cercle $\left|z\right|\leq r$ et $n>0.$ Alors il existe un nombre $\mathrm {K} _{1}=\mathrm {K} _{1}(r,\mathrm {R} )>0$ tel que

$\int \limits _{\,\left|z\right|}\int \limits _{\,\leq \,\mathrm {R} }\left|F(z)-1\right|^{2}\ dudv\;>\;\mathrm {K} _{1}\;;$

car, $z_{0}$ désignant un des $n$ zéros,

$\int \limits _{\,\left|z\right|}\int \limits _{\,\leq \,\mathrm {R} }\left|F(z)-1\right|^{2}\ dudv\;>\;\int \limits _{\,\left|z-z_{0}\right|}\int \limits _{\leq \,\mathrm {R} -r}\left|F(z)-1\right|^{2}\ dudv$

$=\int _{0}^{\mathrm {R} -r}\rho d\rho \int _{0}^{2\pi }\left|F(z_{0}+\rho e^{\varphi i})-1\right|^{2}d\varphi \;>\;2\pi \int _{0}^{\mathrm {R} -r}\rho d\rho =\mathrm {K} _{1}.$

Il suffit donc de trouver $n_{0}=n_{0}(r,\mathrm {R} ,\mathrm {A} )$ et $\mathrm {K} _{2}=\mathrm {K} _{2}(r,\mathrm {R} ,\mathrm {A} )$ tels que, pour $n\geq n_{0},$

$n<\mathrm {K} _{2}\int \limits _{\,\left|z\right|}\int \limits _{\leq \,\mathrm {R} }\left|F(z)-1\right|^{2}\ dudv.$

1. Présentée dans la séance du 22 décembre 1913.