d’où de nouvelles identités arithmétiques, Par exemple, F désignant une fonction paire d’une variable, et N un entier positif donné, non carte, on a
Z<-
«— i ■i ; 2 F(p + *) = o,
2 s’étendant aux représentations
8N + i = 2k*+cx i — s(3 2 avec «, (3, £ entiers,
k et (3Êo et <z>â|(3|.
Ajoutons enfin que, si l’on regarde V(a, s) comme fonction des deux variables indépendantes u = a — setc = 2, elle est symétrique par rapport à u et v, ce qui justifie encore l’introduction de l’élément % {a, s).
Le Prince Bonaparte fait hommage à l’Académie du deuxième fascicule de ses Notes ptéridologiques qu’il vient de publier. Dans ce travail on trouve les résultats de l’examen que l’auteur a fait d’environ 1880 spécimens de Ptéridophytes qu’il a eu à étudier et qui proviennent surtout d’Afrique. Il donne les déterminations de 684 espèces et de j 56 variétés dont beaucoup sont différentes. Deux espèces et treize variétés sont nouvelles.
En présentant ces Notes l’auteur fait remarquer la difficulté qu’il y a à séparer entre elles beaucoup d’espèces dont les limites sont souvent bien mal définies et floues. Il attache une grande importance aux petits caractères dits caractères jordaniens à cause de leur grande fixité dans la nature.
ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les zéros de ’« *) de Riemann, Note de M. C. de la Vallée Poussin.
1. M. G.-H. Hardy a découvert (’) que ’« *), où s = n --it, a une infinité
de racines sur la droite et = -■ Je vais prouver que le nombre de ces racines
pour lesquelles t est < T infiniment grand, n’est pas d’ordre inférieur à JT. Je ne considère ici que les racines d’ordre impair et je ne les compte qu’une fois si elles sont multiples (2).
(’) Comptes rendus, t. 158, iqi4i P- 1012.
( !) M. Landau a abordé le même sujet et étendu le théorème de M. Hardy aux fonctions liées à la progression arithmétique (Math. Ann., B. 76, 191 5).
