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séance du 25 août 1930.

Ces théorèmes sont aussi valables pour certains procédés de sommation des séries divergentes, par exemple pour la sommation de Cesàro d’ordre positif. On peut aussi facilement trouver des théorèmes analogues pour les intégrales $\int _{a}^{\infty }(x,y)dx$.

De l’inégalité (4) on obtient tout de suite le théorème : « Soit $f(x)$ une fonction indéfiniment dérivable et supposons que, pour $n>n_{0}$, $f^{(n)}(x)$ sont monotones dans l’intervalle $(a,b)$. Alors la fonction $f(x)$ sera analytique et régulière sur le segment $(a,b)$^[1] dans le quadrilatère symétrique par rapport à l’axe réel avec des sommets $a$ et $b$, en lesquels les angles sont égaux à ${\frac {\pi }{3}}$. » En employant un théorème de Vivanti-Dienes pour les points singuliers des fonctions on obtient un autre théorème^[2] de M. Serge Bernstein : si $f^{(n)}(x)\geq 0$ pour $a\leq x\leq b$, $n=0,1,2,\dots$, la fonction $f(x)$ est holomorphe pour $|x-a|<b-a$.

CHIMIE MINÉRALE. — Sur les borates de cæsium. Note ^[3] de MM. A.-P. Rollet et L. Andrès, transmise par M. H. Le Chatelier.

Les essais dus à M. Anton Reischle^[4], sont les seuls publiés sur la préparation des borates de cæsium.

Ce savant mélange des solutions alcooliques d’acide borique et de caesine et analyse le précipité obtenu. Ce précipité aurait la composition suivante : $\mathrm {3~B^{2}O^{3}.Cs^{2}O}$.

Nous avons repris ces essais. Dans le tableau 1 on trouve en regard des proportions du mélange en milieu alcoolique d’acide borique et de caesine, la composition moléculaire du précipité obtenu

1. S. Bernstein, Atti del Congresso internazionale dei Matematici, 2, 1928, p. 267–275.
2. S. Bernstein, Mathematische Annalen, 75, 1914, p. 449-468.
3. Séance du 11 août 1930.
4. Anton Reischle, Zeitsch. anorg. Chemie, 4, 1893, p. 175.