trouvera dans les premiers chapitres de ce volume, avec des questions connexes comme la relation nécessaires entre les périodes d’une fonction quadruplement périodique.
Je m’occupe ensuite de propositions se rapportant à mes travaux sur les courbes de genre supérieur à l’unité, pour lesquelles on rencontre des particularités remarquables qui ne se présentent pas pour les courbes des deux premiers genres, et je fais quelques applications à des équations différentielles d’un type simple. Ces questions ne sont pas sans rapports avec la théorie des fonctions fuchsiennes, et à ce point de vue on est conduit à l’étude d’une équation aux dérivées partielles du second ordre, familière aux géomètres qui se sont occupés des surfaces à courbure constante. En ce qui concerne la théorie des fonctions, une question intéressante est relative à l’intégration de cette équation sur une surface de Riemann fermée ; un chapitre est réservé à ce problème.
Après quelques remarques sur les fonctions harmoniques, j’aborde la théorie des fonctions algébriques de deux variables indépendantes, à laquelle est consacré le reste de ces Leçons. Les théorèmes fondamentaux relatifs aux intégrales de différentielles totales de première, seconde et troisième espèce relatives à une surface algébrique sont étudiés assez complètement, ainsi que la connexion linéaire. Je me place au même point de vue que dans toutes mes recherches sur les surfaces algébriques, les problèmes d’Analysis situs étant toujours ramenés à l’étude d’une certaine équation différentielle linéaire ; c’est ainsi que le nombre des intégrales distinctes de différentielles totales de seconde espèce est exprimé par le nombre des polynomes satisfaisant à cette équation. J’ai été moins explicite, en ce qui concerne les intégrales doubles attachées à une surface. Je me suis seulement proposé ici d’indiquer les notions générales et la marche des démonstrations, avec des renvois très précis à ma Théorie des fonctions algébriques de deux variables, qui permettront facilement de rétablir les compléments nécessaires pour tout ce qui concerne les formules essentielles relatives aux intégrales doubles de seconde espèce et au nombre de leurs périodes.
Ce volume se termine par la reproduction de Mémoires parus antérieurement. Un d’eux est relatif à l’impossibilité de certains systèmes de groupes de points sur une surface algébrique ; un autre donne des exemples de surfaces hyperfuchsiennes et de surfaces hyperabéliennes ; un troisième traite de questions relatives à la connexion linéaire et aux surfaces adjointes d’une surface algébrique.
