quelques hypothèses, et qui seront vraies dans le cas et dans la mesure ou ces hypothèses seront elles-mêmes vérifiées. Une fois ces hypothèses admises, la Logique pure règne dans chacune de ces Géométries ; au point de vue logique, elles sont équivalentes et indifférentes. Il ne faut pas croire qu’elles soient incompatibles : elles ne le seraient que si elles portaient sur le même objet ou ensemble d’objets (un espace) ; mais, en elles-mêmes, elles ne portent sur aucun objet et n’en impliquent aucun, puisqu’elles sont purement hypothétiques. Ce sont des systèmes d’implications formelles qui n’affirment pas plus leurs hypothèses que leurs conclusions. Or ces hypothèses, ce sont les postulats ; ceux-ci ne font donc pas partie, à proprement parler, des propositions, des assertions qui constituent chaque Géométrie : ils sont considérés à titre problématique comme des hypothèses gratuites (nous ne disons pas arbitraires, car il n’y a rien d’arbitraire dans les Mathématiques, en dehors des définitions… et encore !). En ce sens, les diverses Géométries font partie des Mathématiques pures, ce sont des sciences déductives et purement analytiques, en tant qu’elles portent sur des espaces idéaux et simplement possibles. Chose curieuse, la Géométrie moderne a exactement réalisé l’idéal que Kant avait prévu et défini à vingt-trois ans, dans son premier ouvrage, alors qu’il était encore tout imprégné de pensées leibniziennes : « Une science de toutes les espèces possibles d’espaces serait sans doute la Géométrie la plus haute qu’un entendement fini pût entreprendre. »
Mais, en un autre sens, la Géométrie cesse d’être une science analytique et une mathématique pure : c’est lorsqu’elle s’applique à un objet particulier, l’espace actuel, et en implique l’existence. A ce point de vue, il n’y a plus qu’une Géométrie admissible, et il faut nécessairement faire un choix entre toutes les Géométries logiquement possibles. D’ailleurs, d’après ce que nous avons dit, faire ce choix se réduit à choisir entre les divers systèmes de postulats qui commandent respectivement [299]
