ab E vel ipsius gradibus afficiuntur), applicentur omnia ad E vel ad elatiorem ipsius gradum, donec aliquod ex homogeneis, ex parte utravis, affectione sub E omnino liberetur. Elidantur deinde utrimque homogenea sub E aut ipsius gradibus quomodo libet involuta, et reliqua æquentur, aut, si ex una parte nihil superest, aequentur sane, quod eodem recidit, affirmata negatis. Resolutio ultimæ istius æqualitatis dabit valorem A, quâ cognitâ, maxima aut minima ex repetitis prioris resolutionis vestigiis innotescet.
Exemplum subjicimus : Sit recta A C ita dividenda in E ut rectangulum A E C sit maximum.
Recta A G dicatur B. Ponatur pars altera ipsius B esse A : ergo reliqua erit B — A, et rectangulum sub segmentis erit B in A — Aq, quod débet inveniri maximum. Ponatur rursus pars altera ipsius B esse A + E ; ergo reliqua erit B — A — E, et rectangulum sub segmentis erit B in A — Aq + B in E — A in E bis — Eq, quod debet æquari superiori rectangulo B in A — Aq.
Demptis communibus, B in E adæquabitur A in E bis + Eq, et omnibus per E divisis, B adæquabitur A bis + E. Elidatur E, B æquabitur A bis. Igitur B bifariam est dividenda ad solutionem propositi ; nec potest generalior dari methodus.
Ad superiorem methodum inventionem tangentium ad data puncta in lineis quibuscumque curvis reducimus.
Sit data, verbi gratia, parabole B D N [voir fig. p. 487], cujus vertex D, diameter D C, et punctum in ea datum B, ad quod ducenda est recta B E tangens parabolen et in puncto E cum diametro concurrens.
Ergo, sumendo quodlibet punctum in recta B E, et ab eo ducendo ordinatam O I, a puncto autem B ordinatam B C, major erit proportio C D ad D I quàm quadrati B C ad quadratum O I, quia punctum O est extra parabolen ; sed, propter similitudinem triangulorum, ut B C quadratum ad O I quadratum, ita C E quadratum ad I E quadratum : major igitur erit proportio C D ad D I quàm quadrati C E ad quadratum I E.
Cùm autem punctum B detur, datur applicata B C, ergo punctum C ; datur etiam C D : sit igitur C D æqualis D datæ. Ponatur C E esse A, ponatur C I esse E. Ergo D ad D — E habebit majorem proportionem quàm Aq ad Aq + Eq — A in E bis, et ducendo inter se medias et extremas : D in Aq + D in Eq — D in A in E bis majus erit quàm D in Aq — Aq in E. Adæquentur igitur juxta superiorem methodum : demptis itaque communibus, D in Eq — D in A in E bis adæquabitur — Aq in E, aut, quod idem est D in Eq + Aq in E adæquabitur D in A in E bis.
