520 Correspondance.
Page 514, 1. I. — D'après ce passage, Florimond de Beaune aurait déterminé, en fonction algébrique des coordonnées, l'aite de l'une des quatre lignes courbes proposées par lui, tandis qu'il n'avait pu, au con- traire, établir de relation algébrique entre les coordonnées de cette ligne. La première des quatre se trouve exclue dès lors, puisque nous savons (voir p. 444, l.»24) que c'était une hyperbole (définie par une propriété de sa tangente), et qu'en tous cas l'aire de l'hyperbole n'est déterminable qu'en employant une fonction logarithmique ; ce qui n'était point reçu à cette époque, ainsi que le montre précisément la solution de Descartes relative à la seconde ligne (p. 514, 1. 26, à p. 517, 1. 26). Quant à la qua- trième ligne, dont nous ne savons rien, il est improbable que la détermina- tion faite par Beaune l'ait concernée; car, dans ce cas. Descartes aurait sans doute pris le temps d'examiner cette ligne, ce qu'il n'a pas fait (p, 5i8, 1. 3). Restent donc la seconde et la troisième ligne; nous allons voir que, pour l'une et l'autre, la quadrature, dans les conditions indiquées ci-dessus, est effectivement possible.
La seconde ligne est devenue classique, parce qu'elle a fourni le plus ancien exemple du traitement d'une équation différentielle. Toutefois le véritable énoncé du problème n'est pas connu. Descartes l'ayant trans- formé. Voici celui que donne Duhamel {Eléments de calcul infinitésimal, U II, 2* éd., 1861, p. 154) :
« Trouver une courbe telle que la sous-tangente soit à l'ordonnée comme » une ligne constante esta l'ordonnée de cette même courbe diminuée de • celle d'une ligne droite inclinée d'un demi-angle droit sur l'axe des x. »
Cet énoncé dérive du texte latin qu'on trouve dans une lettre écrite « cinq ou six ans » plus tard par Descartes {Clers., III, lettre LXXIX, p. 459-460). Mais pour être d'accord avec la figure p. 5x5, où les axes rec- tangulaires sont AC pour les x, A Y pour lesj', il eût fallu dire :
« Trouver une courbe telle que la sous-tangente soit à l'ordonnée comme » une ligne constante est à l'ordonnée de la bissectrice [A H] de l'angle des » axes, diminuée de l'ordonnée de la courbe. »
Voici un autre énoncé peut-être plus voisin de la forme primitive :
« Etant donné un axe A Y et un point C [AC = è] sur la perpendicu- laire en A, trouver une courbe telle que la tangente en l'un quelconque X de ses points soit parallèle à la droite joignant le point C au point de ren- contre de l'axe A Y et d'une droite menée par le point X parallèlement à C B, qui est inclinée de 450 sur l'axe. »
L'équation différentielle de la courbe proposée est : \^ = ~^, et l'on en
déduit facilement : jf ydx = - jr« — by,ct qui donne l'aire de la courbe.
La troisième ligne (voir p. S\j, 1. 27) proposée par Beaune était proba- blement définie par la propriété d'avoir, en coordonnées rectangulaires, sa sous-tangente constamment égale à b. De la relation ydx =: bdy, on tire
ydx = by.
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