Page:Deux Mémoires de Henri Poincaré.djvu/11

Ensuite on peut calculer l’intégrale

$\scriptstyle \int \omega \left(\eta _{1}\right)\dots \omega \left(\eta _{n}\right)d\eta _{1}\dots d\eta _{n}$

étendue aux valeurs positives des $\scriptstyle \eta$ telles que $\scriptstyle \eta _{1}+\dots +\eta _{n}$ se trouve entre $\scriptstyle x$ et $\scriptstyle x+dx$. Posons

(8)	$\scriptstyle \int \omega \left(\eta _{1}\right)\dots \omega \left(\eta _{n}\right)d\eta _{1}\dots d\eta _{n}=\varphi (x)dx\ ;$

$\scriptstyle \varphi$ sera une fonction qui dépend de la fonction $\scriptstyle \omega$ et nous aurons

$\scriptstyle I={\frac {dh}{(p-1)!}}\int _{0}^{h}(h-x)^{p-1}\varphi (x)dx.$

$\scriptstyle I'$ et $\scriptstyle I''$ se calculent de la même manière; on n’a qu’à introduire sous le signe d’intégration le facteur $\scriptstyle x$ ou le facteur $\scriptstyle h-x$. En fin de compte, on peut écrire

(9)	$\scriptstyle nY=C\int _{0}^{h}x(h-x)^{p-1}\varphi (x)dx,$

(10)	$\scriptstyle pX=C\int _{0}^{h}(h-x)^{p}\varphi (x)dx,$

où le facteur $\scriptstyle C$ est le même dans les deux cas. Nous n’avons pas à nous en occuper parce qu’il suffit de déterminer le rapport de $\scriptstyle X$ à $\scriptstyle Y$.

On obtient maintenant la formule de M. Planck — qui peut être regardée comme l’expression de la réalité — si on fait sur la fonction $\scriptstyle \omega$ l’hypothèse suivante, qui est conforme à la théorie des quanta.

Soit $\scriptstyle \epsilon$ la grandeur du quantum d’énergie qui est propre aux résonateurs considérés et désignons par $\scriptstyle \delta$ une grandeur infiniment petite^[1]. La fonction $\scriptstyle \omega$ sera nulle, excepté dans les intervalles

$\scriptstyle k\epsilon <\eta <k\epsilon +\delta \quad (k=0,\ 1,\ 2,\ 3,\dots )$

et pour chacun de ces intervalles l’intégrale $\scriptstyle \int _{k\epsilon }^{k\epsilon +\delta }\omega \ d\eta$ aura la valeur $\scriptstyle 1$.

Ces données suffisent pour la détermination de la fonction $\scriptstyle \varphi$ et du rapport $\scriptstyle {\tfrac {Y}{X}}$ pour lequel on trouve, comme je l’ai déjà dit, la valeur donnée par la théorie

1. Il s’agit ici de la première théorie de M. Planck, dans laquelle on admet que l’énergie d’un résonateur ne peut avoir qu’une des valeurs $\scriptstyle 0,\ \epsilon ,\ 2\epsilon ,\ 3\epsilon ,$ etc.