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deux cycloïdes, sont en raison doublée des tems, pendant lesquels se font les différentes oscillations.

D’où il suit qu’elles sont en raison doublée réciproque des nombres d’oscillations faites dans le même tems ; & que les tems des oscillations, faites en différentes cycloïdes, sont en raison sous-doublée des longueurs des pendules.

7°. Pour trouver la longueur d’un pendule, qui fasse un certain nombre de vibrations en un tems donné quelconque.

Supposons que l’on demande 50 vibrations dans le tems d’une minute, & que l’on demande la longueur de la verge, en comptant du point de suspension jusqu’au centre d’oscillation ou de la boule qui est au bout : c’est une regle constante que les longueur des pendules sont l’une à l’autre réciproquement comme les quarrés de leurs vibrations. Maintenant supposons qu’un pendule à secondes, c’est-à-dire, qui fait 60 vibrations dans une minute, est de 39 pouces & $\scriptstyle {\frac {2}{10}}$ ; dites donc, le quarré de 50, qui est de 2500, est au quarré de 60, qui est de 3600, comme 39 $\scriptstyle {\frac {2}{10}}$ est à la longueur du pendule cherché, que l’on trouvera de 56 pouces $\scriptstyle {\frac {4}{10}}$.

Remarque pratique. Puisque le produit des termes moyens de la proportion sera toujours 1411200, c’est-à-dire, $\scriptstyle 3600\times 39{\frac {2}{10}}$, il n’y a seulement qu’à diviser ce nombre par le quarré du nombre des vibrations assigné ; & le quotient donnera la longueur d’un pendule, qui fera précisement autant de vibrations dans une minute.

8°. La longueur d’un pendule étant connue, trouver le nombre de vibrations qu’il fera dans un tems donné.

Cette question est l’inverse de la premiere : dites la longueur donnée 56 $\scriptstyle {\frac {4}{10}}$ est à la longueur du pendule à secondes, qui sert de modele, c’est-à-dire ici, est à $\scriptstyle 39{\frac {2}{10}}$, comme le quarré des vibrations de ce dernier pendule dans un tems donné : par exemple, une minute est au quarré des vibrations cherchées ; c’est-à-dire, $\scriptstyle 56{\frac {2}{10}}~.~39{\frac {2}{10}}~::~3600~.~2500$, & la racine quarrée de 2500 ou 50 sera le nombre des vibrations que l’on demande.

Mais dans la pratique, il faut agir ici comme dans le premier problème ; vous n’aurez seulement qu’à diviser 1411200 par la longueur, vous aurez le quarré du nombre des vibrations ; de même que l’on divise ce nombre par le quarré des vibrations pour trouver la longueur.

Sur ces principes M. Derham a construit une table des vibrations des pendules des différentes longueurs dans l’espace d’une minute.

Longueur du pendule en pouces.		Vibrations en une minute.				Longueur du pendule en pouces.		Vibrations en une minute.
1.		375.7.				30.		68.6
2.		265.6.
3.		216.9.				39.2.		68.0
4.		187.8.
5.		168.0				40.		59.5.
6.		153.3.				50.		53.1.
7.		142.0.				60.		48.5.
8.		132.8.				70.		44.9.
9.		125.2.				80.		42.0.
10.		118.8.				90.		39.6.
20.		84.0.				100.		37.5.

Remarquez que ces lois du mouvement des pendules ne s’observeront pas à la rigueur, à moins que le fil qui soutient la boule n’ait aucun poids, & que la pesanteur de tout le poids ne soit réuni en un seul point.

C’est pourquoi il faut se servir dans la pratique d’un fil très-fin & d’une petite boule, mais d’une matiere fort pesante ; sans cela le pendule, de simple qu’on le suppose, deviendroit composé, & ce seroit presque la même chose que si différens poids étoient appliqués à différens endroits de la même verge inflexible.

L’usage des pendules, pour mesurer le tems dans les observations astronomiques, & dans les occasions où l’on a besoin d’un grand degré de précision, est trop évident pour qu’il soit besoin d’en parler ici.

On peut régler la longueur du pendule avant son application, & la faire pour battre un tems demandé, par exemple, les secondes, les demi-secondes, &c. par l’art. 4. ou bien, on peut la prendre à volonté, & déterminer ensuite les tems des vibrations suivant l’art. 8.

Quant à l’usage des pendules pour la mesure des distances inaccessibles, fort éloignées par le moyen du son, voyez Son, Chambers, Wolf, &c. (O)

Méthode générale pour trouver le mouvement d’un pendule. Soit a le rayon du cercle que décrit le pendule, ou la longueur du pendule ; b, l’abscisse totale qui répond à l’arc du centre, en prenant cette abscisse depuis le point le plus bas ; x, l’abscisse d’une portion quelconque de cet arc ; p, la pesanteur ; u, la vîtesse en un point quelconque, on aura $\scriptstyle uu=2p(b-x)$. Voyez les articles Force accélératrice & Plan incliné) ; & le tems employé à parcourir un arc quelconque infiniment petit, sera $\textstyle {\frac {-adx}{a{\sqrt {2ax-xx}}}}={\frac {-adx}{\sqrt {2ax-xx}}}\times {\frac {1}{{\sqrt {2p}}.{\sqrt {b-x}}}}$. Or, lorsque l’arc descendu n’a pas beaucoup d’amplitude, x est petit par rapport à a ; & on peut, au lieu de $\textstyle {\frac {1}{\sqrt {2ax-xx}}}$, ou $\textstyle {\frac {1}{{\sqrt {x}}+{\overline {2a-x}}^{\frac {1}{2}}}}$ écrire $\textstyle {\frac {1}{\sqrt {x}}}\times \left({\frac {1}{\sqrt {2a}}}+{\frac {x}{4a{\sqrt {2a}}}}\right)$, &c. (voyez Binome, Approximation, & Exposant) ; de maniere que l’élément du tems sera à-peu-près $\textstyle {\frac {-a}{\sqrt {1p}}}\times \left({\frac {dx}{{\sqrt {2a}}{\sqrt {2x-xx}}}}+{\frac {xdx}{4a{\sqrt {2a}}{\sqrt {bx-xx}}}}\right)$, &c. quantité qui étant intégrée par les regles connues, donnera à-peu-près le tems d’une demi-vibration du pendule. On peut même, lorsque l’arc descendu est fort petit, négliger entierement le terme $\textstyle {\frac {+xdx}{2a{\sqrt {2a}}{\sqrt {bx-xx}}}}$ ; & alors le tems de la descente du pendule sera sensiblement le même que celui de la descente dans une cycloïde qui auroit le rayon osculateur à son sommet égal au rayon du pendule.

On voit aussi que le tems de la descente par un arc de cercle, est en général un peu plus grand que celui de la descente par un tel arc de cycloïde : de plus il est aisé de comparer le tems d’une vibration avec le tems de la descente verticale d’un corps le long d’un espace quelconque h. Car la vîtesse, à la fin de cet espace, est $\scriptstyle {\sqrt {2ph}}$, & l’élément du tems est $\textstyle {\frac {dh}{\sqrt {2ph}}}$, dont l’intégrale est $\textstyle {\frac {\sqrt {2h}}{\sqrt {p}}}$. Or le tems de la demi-vibration est égal à l’intégrale de $\textstyle {\frac {-adx}{{\sqrt {2a}}.{\sqrt {2p}}{\sqrt {bx-xx}}}}$, ou de $\textstyle {\frac {-dx}{\sqrt {bx-xx}}}\times {\frac {a}{{\sqrt {2a}}.{\sqrt {2p}}}}$, c’est-à-dire (en nommant c la circonférence du rayon a) $\scriptstyle a{\frac {c}{2a}}\times \textstyle {\frac {a}{{\sqrt {2a}}{\sqrt {2p}}}}$. Donc les deux tems sont entre eux comme $\textstyle {\frac {4{\sqrt {a}}}{c}}$ à $\scriptstyle {\sqrt {2h}}$. D’où il est aisé de tirer tous les théorèmes sur les pendules.

Dans ces théorèmes on fait abstraction de la résistance de l’air ; cependant il est bon d’y avoir égard, & plusieurs géometres s’y sont appliqués. Voyez les Mém. de Pétersbourg, tom. III. & V. Voyez aussi mon Essai sur la résistance des fluides, art. scv. xcvj. & suiv. (O)

Pendule, Réciprocation du. On appelle ainsi