Page:Diderot - Encyclopedie 1ere edition tome 13.djvu/439
en une seconde de tems. Puisque le double de la plus grande amplitude est le parametre de la parabole, cherchez une moyenne proportionnelle entre le double de la plus grande amplitude, & 181 pouces qui sont l’espace qu’un corps pesant décrit en une seconde, & vous aurez l’espace que le projectile parcourt uniformément dans le sens horisontal, en une seconde de tems.
Par exemple, si la plus grande amplitude est de 1000 piés ou 12000 pouces, l’espace cherché sera égal à la racine quarrée de 12000 x 181, c’est-à-dire 120 piés & 4 pouces.
10°. On demande la plus grande hauteur à laquelle un corps jetté obliquement s’élevera ; pour la trouver, coupez l’amplitude A B en deux parties égales au point t, & du point t élevez une perpendiculaire t m ; cette ligne t m sera la plus grande hauteur à laquelle s’élevera le corps jetté dans la direction A R. Si la parabole n’étoit pas tracée, alors ayant l’amplitude A B, il ne faudroit qu’élever la perpendiculaire B R, & en prendre le quart qui seroit la valeur de t m.
11°. L’amplitude A B & l’angle d’élévation étant donnés, on demande de déterminer par le calcul la plus grande hauteur à laquelle le projectile s’élevera. Si on prend A R pour sinus total, B R sera le sinus, & A B le co-sinus de l’angle d’élévation B A R ; il faudra donc dire : comme le co-sinus de l’angle d’élévation est au sinus de ce même angle, ainsi l’amplitude de A B est à un 4e nombre, dont le quart exprimera la hauteur cherchée.
Donc puisque l’on peut déterminer l’amplitude, lorsque la vîtesse & l’angle d’élévation sont donnés, il s’ensuit que par la vîtesse du projectile & par l’angle d’élévation, on peut aussi déterminer la plus grande hauteur à laquelle il doit s’élever.
12°. La hauteur de l’amplitude t m est à la huitieme partie du parametre, comme le sinus verse du double de l’angle d’élévation est au sinus total ; donc
1. Puisque le sinus total est au sinus verse du double de l’angle d’élévation dans un cas quelconque, comme la huitieme partie du parametre est à la hauteur de l’amplitude ; & que dans un autre cas quelconque, le sinus total est encore au sinus verse du double de l’angle d’élévation, comme la huitieme partie du parametre est à la hauteur se l’amplitude ; que de plus la vîtesse demeurant la même, le parametre est le même pour deux différens angles d’élévation : il s’ensuit que les hauteurs de deux amplitudes différentes sont entre elles comme les sinus verses du double de l’angle d’élévation, qui leur répondent, la vitesse demeurant la même : 2. il s’ensuit encore que la vîtesse demeurant la même, la hauteur de l’amplitude est en raison doublée du sinus du double de l’angle d’élévation.
13°. La distance horisontale d’un but ou objet étant donnée avec sa hauteur, ou son abaissement au-dessous de l’horison, & la vîtesse du projectile, trouver l’angle d’élévation qu’il faut donner au projectile pour qu’il aille frapper cet objet.
Voici le théoreme que nous donne M. Wolf, & par le moyen duquel on peut résoudre le probleme dont il s’agit : soit le parametre du diametre A s = a ; In = b (n étant supposé l’objet), A I = c, le sinus total = t, dites comme c est à [omission : formula ; to see, consult fac-similé version] ainsi le sinus total t est à la tangente de l’angle d’élévation cherche R A B.
M. Halley nous a aussi donné pour résoudre ce problème, une méthode facile & abregée, qu’il a trouvée par analyse : voici cette méthode. L’a ngle droit L D A étant donné, fig. 48. faites D A, D F égales à la plus grande amplitude, D G = à la dist ance horisontale, & D B, D C = à la hauteur perpendiculaire de l’objet : tirez G B, & prenez D E
qui lui soit égale ; ensuite du rayon A C & du centre E tracez un arc qui coupe la ligne A D en H, si cela se peut ; la ligne D H étant portée des deux côtés de F, donnera les points K & L, auxquels il faudra tirer les lignes G L, G K : les angles L G D, K G D seront les angles d’élévation requis pour frapper l’objet B ; mais il faut observer que si le point B est abaissé au-dessous de l’horison, la quantité de son abaissement D C = D B, doit être prise de l’autre côté de A, de sorte que l’on ait A C = A D + D C ; il faut remarquer encore que si D H se trouve plus grand que F D, & qu’ainsi K tombe au-dessous de D, l’angle d’élévation K G D sera négatif, c’est-à-dire abaissé au-dessous de l’horison.
14°. Les tems des projections ou jets, qui répondent aux différens angles d’élévation, la vîtesse demeurant la même, sont entre eux comme les sinus de ces angles.
15°. La vîtesse du projectile & l’angle d’élévation R A B étant donnés, fig. 47. on propose de trouver l’amplitude A B, la hautèur t m de l’amplitude, & de décrire la courbe A m B. Sur la ligne horisontale A B élevez une perpendiculaire A D qui marque la hauteur d’où le projectile auroit dû tomber pour acquérir la vîtesse qu’il a ; sur la ligne A D décrivez un demi-cercle A Q D qui coupe la ligne de direction A R en Q ; par le point Q tirez C m parallele à A B, & faites C Q = Q m : du point m faites tomber une perpendiculaire m t à A B ; enfin par le sommet m décrivés la parabole A m B, cette parabole sera la courbe cherchée ; 4 C Q en sera l’amplitude, t m la hauteur, & 4 C D le parametre.
Donc 1°. la vîtesse du projectile étant donnée, toutes les amplitudes & leurs hauteurs sont données pour tous les degrés d’élévation ; car tirant E A, on aura pour l’angle d’élévation E A B, la hauteur A I & l’amplitude 4 I E ; de même pour l’angle d’élévation F A B, au aura la hauteur A H, & l’amplitude 4 H F. 2°. Puisque A B est perpendiculaire à A D, elle est tangente du cercle en A ; donc l’angle A D Q est égal à l’angle d’élévation R A B : conséquemment l’angle A I Q est double de l’angle d’élévation ; C Q, sinus de cet angle est le quart de l’amplitude ; & A C, hauteur de l’amplitude est égal au sinus verse du double de l’angle d’élévation.
16°. La hauteur t m du jet, ou son amplitude A B, étant données avec l’angle d’élévation, on peut trouver la vîtesse de projection, c’est-à-dire la hauteur A B d’où le projectile devroit tomber pour avoir cette vitesse. En effet, puisque A C-t m est le sinus verse, que C Q = ¼ ; A B est le sinus du double de l’angle d’élévation A I Q ; on trouvera aisément le diametre A D, en cherchant une quatrieme proportionnelle au sinus du double de l’angle d’élévation, au sinus total & au quart de l’amplitude ; car cette quatrieme proportionnelle étant doublée, donnera le diametre A D qu’on cherche.
Voilà les principaux théorèmes par lesquels on détermine le mouvement des projectiles dans un milieu non résistant. M. de Maupertuis, dans les mém. de l’acad. 1732, nous a donné un moyen d’abréger beaucoup cette théorie, & de renfermer dans une page toute la balistique, c’est-à-dire la théorie du mouvement des projectiles. Voyez Balistique.
On peut deduire assez aisément des formules données dans ce mémoire les propositions énoncées dans cet article ; on peut aussi avoir recours, si on le juge à propos, au second volume de l’analyse démontrée du P. Reynau, & au cours de Mathématiques de Wolf.
Au reste, ces regles sur le mouvement des projectiles sont fort altérées par la résistance de l’air, dont nous avons fait abstraction jusqu’ici, les Géometres se sont appliqués à cette derniere recherche pour déterminer les lois du jet des bombes, en ayant égard à
