en une seconde de tems. Puisque le double de la plus grande amplitude est le parametre de la parabole, cherchez une moyenne proportionnelle entre le double de la plus grande amplitude, & 181 pouces qui sont l’espace qu’un corps pesant décrit en une seconde, & vous aurez l’espace que le projectile parcourt uniformément dans le sens horisontal, en une seconde de tems.
Par exemple, si la plus grande amplitude est de 1000 piés ou 12000 pouces, l’espace cherché sera égal à la racine quarrée de , c’est-à-dire 120 piés & 4 pouces.
10°. On demande la plus grande hauteur à laquelle un corps jetté obliquement s’élevera ; pour la trouver, coupez l’amplitude AB en deux parties égales au point t, & du point t élevez une perpendiculaire tm ; cette ligne tm sera la plus grande hauteur à laquelle s’élevera le corps jetté dans la direction AR. Si la parabole n’étoit pas tracée, alors ayant l’amplitude AB, il ne faudroit qu’élever la perpendiculaire BR, & en prendre le quart qui seroit la valeur de tm.
11°. L’amplitude AB & l’angle d’élévation étant donnés, on demande de déterminer par le calcul la plus grande hauteur à laquelle le projectile s’élevera. Si on prend AR pour sinus total, BR sera le sinus, & AB le co-sinus de l’angle d’élévation BAR ; il faudra donc dire : comme le co-sinus de l’angle d’élévation est au sinus de ce même angle, ainsi l’amplitude de AB est à un 4e nombre, dont le quart exprimera la hauteur cherchée.
Donc puisque l’on peut déterminer l’amplitude, lorsque la vîtesse & l’angle d’élévation sont donnés, il s’ensuit que par la vîtesse du projectile & par l’angle d’élévation, on peut aussi déterminer la plus grande hauteur à laquelle il doit s’élever.
12°. La hauteur de l’amplitude tm est à la huitieme partie du parametre, comme le sinus verse du double de l’angle d’élévation est au sinus total ; donc
1. Puisque le sinus total est au sinus verse du double de l’angle d’élévation dans un cas quelconque, comme la huitieme partie du parametre est à la hauteur de l’amplitude ; & que dans un autre cas quelconque, le sinus total est encore au sinus verse du double de l’angle d’élévation, comme la huitieme partie du parametre est à la hauteur se l’amplitude ; que de plus la vîtesse demeurant la même, le parametre est le même pour deux différens angles d’élévation : il s’ensuit que les hauteurs de deux amplitudes différentes sont entre elles comme les sinus verses du double de l’angle d’élévation, qui leur répondent, la vitesse demeurant la même : 2. il s’ensuit encore que la vîtesse demeurant la même, la hauteur de l’amplitude est en raison doublée du sinus du double de l’angle d’élévation.
13°. La distance horisontale d’un but ou objet étant donnée avec sa hauteur, ou son abaissement au-dessous de l’horison, & la vîtesse du projectile, trouver l’angle d’élévation qu’il faut donner au projectile pour qu’il aille frapper cet objet.
Voici le théorème que nous donne M. Wolf, & par le moyen duquel on peut résoudre le probleme dont il s’agit : soit le parametre du diametre As = a ; In = b (n étant supposé l’objet), AI = c, le sinus total = t, dites comme c est à ainsi le sinus total t est à la tangente de l’angle d’élévation cherche RAB.
M. Halley nous a aussi donné pour résoudre ce problème, une méthode facile & abregée, qu’il a trouvée par analyse : voici cette méthode. L’angle droit LDA étant donné, fig. 48. faites DA, DF égales à la plus grande amplitude, DG = à la distance horisontale, & DB, DC = à la hauteur perpendiculaire de l’objet : tirez GB, & prenez DE
qui lui soit égale ; ensuite du rayon AC & du centre E tracez un arc qui coupe la ligne AD en H, si cela se peut ; la ligne DH étant portée des deux côtés de F, donnera les points K & L, auxquels il faudra tirer les lignes GL, GK : les angles L G D, K G D seront les angles d’élévation requis pour frapper l’objet B ; mais il faut observer que si le point B est abaissé au-dessous de l’horison, la quantité de son abaissement DC = DB, doit être prise de l’autre côté de A, de sorte que l’on ait AC = AD + DC ; il faut remarquer encore que si DH se trouve plus grand que FD, & qu’ainsi K tombe au-dessous de D, l’angle d’élévation KGD sera négatif, c’est-à-dire abaissé au-dessous de l’horison.
14°. Les tems des projections ou jets, qui répondent aux différens angles d’élévation, la vîtesse demeurant la même, sont entre eux comme les sinus de ces angles.
15°. La vîtesse du projectile & l’angle d’élévation RAB étant donnés, fig. 47. on propose de trouver l’amplitude AB, la hautèur tm de l’amplitude, & de décrire la courbe AmB. Sur la ligne horisontale AB élevez une perpendiculaire AD qui marque la hauteur d’où le projectile auroit dû tomber pour acquérir la vîtesse qu’il a ; sur la ligne AD décrivez un demi-cercle AQD qui coupe la ligne de direction AR en Q ; par le point Q tirez Cm parallele à AB, & faites CQ = Qm : du point m faites tomber une perpendiculaire mt à AB ; enfin par le sommet m décrivés la parabole AmB, cette parabole sera la courbe cherchée ; 4 CQ en sera l’amplitude, tm la hauteur, & 4 C D le parametre.
Donc 1°. la vîtesse du projectile étant donnée, toutes les amplitudes & leurs hauteurs sont données pour tous les degrés d’élévation ; car tirant EA, on aura pour l’angle d’élévation EAB, la hauteur AI & l’amplitude 4 IE ; de même pour l’angle d’élévation FAB, au aura la hauteur AH, & l’amplitude 4 H F. 2°. Puisque AB est perpendiculaire à AD, elle est tangente du cercle en A ; donc l’angle ADQ est égal à l’angle d’élévation RAB : conséquemment l’angle AIQ est double de l’angle d’élévation ; CQ, sinus de cet angle est le quart de l’amplitude ; & AC, hauteur de l’amplitude est égal au sinus verse du double de l’angle d’élévation.
16°. La hauteur tm du jet, ou son amplitude AB, étant données avec l’angle d’élévation, on peut trouver la vîtesse de projection, c’est-à-dire la hauteur AB d’où le projectile devroit tomber pour avoir cette vitesse. En effet, puisque AC-tm est le sinus verse, que est le sinus du double de l’angle d’élévation AIQ ; on trouvera aisément le diametre AD, en cherchant une quatrieme proportionnelle au sinus du double de l’angle d’élévation, au sinus total & au quart de l’amplitude ; car cette quatrieme proportionnelle étant doublée, donnera le diametre AD qu’on cherche.
Voilà les principaux théorèmes par lesquels on détermine le mouvement des projectiles dans un milieu non résistant. M. de Maupertuis, dans les mém. de l’acad. 1732, nous a donné un moyen d’abréger beaucoup cette théorie, & de renfermer dans une page toute la balistique, c’est-à-dire la théorie du mouvement des projectiles. Voyez Balistique.
On peut déduire assez aisément des formules données dans ce mémoire les propositions énoncées dans cet article ; on peut aussi avoir recours, si on le juge à propos, au second volume de l’analyse démontrée du P. Reynau, & au cours de Mathématiques de Wolf.
Au reste, ces regles sur le mouvement des projectiles sont fort altérées par la résistance de l’air, dont nous avons fait abstraction jusqu’ici, les Géometres se sont appliqués à cette derniere recherche pour déterminer les lois du jet des bombes, en ayant égard à
