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Le nombre qui y répond dans les tables est 82^d. 34’7".

2°. Deux angles C = 82^d. 34’7" & A = 43^d. 20’avec le côté A B = 60^d. 45’opposé à l’un d’eux C étant donnés, trouver le côté B C opposé à l’autre angle A.

Il faut dire : le sinus de l’angle C est au sinus du côté opposé B, comme le sinus de l’angle A est au sinus du côté opposé B C. L’exemple précédent suffit pour l’intelligence de celui-ci.

3°. Deux côtés A B = 66^d. 45 m. & B C = 39^d. 29’avec un angle opposé à l’un des deux A = 45^d. 20’étant donnés ; trouver l’angle B compris entre ces côtés ; supposez que l’angle C est aigu ; puisque l’autre angle A est pareillement aigu, la perpendiculaire B E tombe dans le triangle ; c’est pourquoi dans le triangle rectangle A B E, par le moyen de l’angle A, & du côté A B donnés, on trouve l’angle A B E. Puisque B E sert comme de partie latérale dans le triangle A E B, l’angle E B C est une partie moyenne, & le côté B C est une partie conjointe.

Ce co-sinus de l’angle E B C se trouvera en ôtant la co-tangente de A B de la somme du co-sinus de l’angle A B E, & de la co-tangente de B C. Ainsi, en joignant ensemble les angles A B E & E B C, ou si la perpendiculaire tombe hors du triangle, en ôtant l’un de l’autre, vous trouverez l’angle en question.

Par exemple, sinus total    . . 100000000
 Co-sinus de ''A B'' . . . . 95963154
          Somme . . . . 195963154
 Co-tangente de ''A''. . . . 100252805
 Co-tangente de ''A B E''. . 95710349

Le nombre qui y répond dans les tables est 20^d. 25’35" par conséquent A B est de 69^d. 34’ 25".

Co-sinus de ''A B E'' . . . 95428300
Co-tangente de ''B C''. . . 100141529
     Somme    . . . . 196269829
Co-tangente de ''A B''. . . 96330085
Co-sinus de ''E B C'' . . . 99938544

Le nombre qui y répond dans les tables est 80^d. 24’26" par conséquent A B C est de 79^d. 9’ 57".

4°. Deux angles A = 43^d. 20’& B = 79^d. 9’ 59" avec le côté adjacent A B = 66^d. 45’étant donnés, trouver le côté B opposé à l’un des deux angles.

De l’un des angles donnés B, abaissez une perpendiculaire E B sur le côté inconnu A C ; &, dans le triangle rectangle A B E, par le moyen de l’angle donné A & de l’hypoténuse A B, cherchez l’angle A B E ; lequel étant ôté de l’angle A B C, il reste l’angle E B C. Mais si la perpendiculaire tomboit au-dehors du triangle, en ce cas, il faudroit soustraire l’angle A B C de l’angle A B E ; parce que la perpendiculaire B E étant prise pour une des parties latérales, la partie moyenne dans le triangle A B E est l’angle B, & la partie conjointe est A B ; dans le triangle E B C, la partie moyenne est l’angle B, & la partie conjointe B C ; la co-tangente du côté B C se trouve en ôtant le cosinus de E B A de la somme de co-tangente de A B & du co-sinus de E B C. L’exemple du cas précédent s’applique aisément à celui-ci.

5°. Deux côtés A B = 66^d. 45’& B C = 39^d. 29’avec l’angle A opposé à l’un ou à l’autre = 43^d. 20’étant donnés, trouver le troisieme côté A C, abaissant, comme ci-dessus, la perpendiculaire B E, dans le triangle rectangle A B E, par le moyen de l’angle donné, & de l’hypothénuse A B, vous trouverez le côté A E ; puisqu’en prenant B

E pour une partie latérale dans le triangle A E B, A B est la partie moyenne, & A E la partie disjointe, & que dans le triangle B E C, B C est la partie moyenne, & E C la partie disjointe ; le cosinus de E C se trouve en ôtant le co-sinus de A B de la somme des co-sinus de A E & C B, de sorte qu’en joignant ensemble les segmens A E & E C, ou en cas que la perpendiculaire tombe hors le triangle en les ôtant l’un de l’autre, on trouvera le côté A C.

6°. Deux côtés A C = 65^d. 30’46" & A B = 66^d. 45’avec l’angle A = 43^d. 20’compris entre ces côtés, étant donnés, trouver le troisieme côté B C opposé à cet angle.

Abaissez la perpendiculaire B E, cherchez dans le triangle rectangle le segment A E, lequel étant ôté de A C, il vous reste E C. Si la perpendiculaire tombe au-dehors du triangle, il faut ôter A C de A E.

Puisqu’en prenant la perpendiculaire B E pour une partie latérale dans le triangle A E B, A B devient la partie moyenne, & A E la partie disjointe : & que dans le triangle E B C, C B est la partie moyenne, & E C la partie disjointe ; le co-sinus de B C se trouve en ôtant le co-sinus de A E, de la somme des co-sinus de A B & E C.

7°. Deux angles A = 43^d. 20’& B = 79^d. 9’ 59" avec le côté C B = 39^d. 29’opposé à l’un ou l’autre de ces angles, étant donnés, trouver le côté A B adjacent à l’un & l’autre.

Abbaissez la perpendiculaire C D de l’angle inconnu C sur le côté opposé A B, & si cette perpendiculaire tombe dans le triangle, par le moyen de l’angle donné B, & de l’hypothénuse B C, cherchez dans le triangle rectangle B C D, le segment B D. Puisqu’en prenant la perpendiculaire C D pour une partie latérale dans le triangle C D B, D B est la partie moyenne, & l’angle B une partie conjointe ; & que dans le triangle C D A, A D est la partie moyenne, & l’angle A une partie conjointe ; le sinus du segment A D se trouve en ôtant la co-tangente de l’angle B de la somme du sinus de D B & de la co-tangente de l’angle A ; de sorte qu’en joinant ensemble les segmens A D & D B, ou, si la perpendiculaire tombe hors du triangle, en ôtant l’un de l’autre, le résultat sera du côté A B que vous cherchiez.

8°. Deux côtés A B = 66^d. 45’. & B C = 39^d. 29’. avec l’angle compris entre ces côtés = 79^d. 9’. 59". étant donnés, trouver l’angle A opposé à l’un ou à l’autre de ces côtés.

En abaissant la perpendiculaire C D, vous trouverez le segment B D, comme dans le problème précédent : ôtez ce segment de A B, reste A D. Si la perpendiculaire tombe hors le triangle, A B doit être joint à D B : & comme en prenant la perpendiculaire C D pour une partie latérale dans le triangle C D B, B D est la partie moyenne, & l’angle B la partie conjointe ; & que dans le triangle C D A, A D est la partie moyenne, & l’angle A la partie conjointe ; la co-tangente de l’angle A se trouve en ôtant le sinus de D B de la somme de la co-tangente de l’angle B & du sinus A D.

9°. Deux angles A = 43^d. 20’. & B = 79^d. 9’. 59". avec le côté adjacent A B = 76^d. 45’. étant donnés, trouver l’angle C opposé à ce côté.

De l’un des angles donnés B abaisser la perpendiculaire B E, sur le côté opposé A C : dans le triangle rectangle A B E, par le moyen de l’angle A donné, & de l’hypothenuse A B, vous trouverez l’angle A B E, lequel étant ôté de A B C, reste l’angle E B C.

Si la perpendiculaire tombe hors le triangle, il faut ôter A B C de A B E. Puisqu’en prenant B E pour une partie latérale dans le triangle C E B, l’angle C est la partie moyenne, & l’angle C B E, la partie dis -