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$\scriptstyle y-{\sqrt {aa-bb}}+x=0$, $\scriptstyle y+{\sqrt {aa+bb}}-x=0$, $\scriptstyle y+{\sqrt {aa+bb}}+x=0$.

3°. Les équations sont encore rationnelles quand même x se trouveroit sous le signe radical, pourvû qu’on puisse l’en dégager : par exemple, $\scriptstyle y-{\sqrt {aaxx+bbxx}}=0$ & $\scriptstyle y-{\sqrt {ddx^{2}+x^{2}}}=0$ se changent en $\scriptstyle y=\pm x{\sqrt {aa+bb}}$, & $\scriptstyle y=\pm x{\sqrt {dd+dd}}$ qui est le système des quatre lignes droites, où l’on voit que les deux équations radicales en ont fourni chacune deux autres, parce que la racine de xx est également +x & −x. Je m’étends sur ces différens objets, parce qu’ils ne sont point traités ailleurs, ou qu’ils le sont trop succinctement, ou qu’ils le sont mal.

Ceci nous conduit à parler d’une autre maniere d’envisager l’équation des courbes, c’est de déterminer une courbe par l’équation, non entre x & y, mais entre les y qui répondent à une même abscisse.

Exemple. On demande une courbe, dans laquelle la somme de deux ordonnées correspondantes à une même x soit toûjours égale à une quantité constante 2a ; je dis que l’équation de cette courbe sera $\scriptstyle y=a+{\sqrt {X}}$, X désignant une quantité radicale quelconque, composée de x & de constantes. En effet, les deux ordonnées $\scriptstyle y=a+{\sqrt {X}}$ & $\scriptstyle y=a-{\sqrt {X}}$ ajoûtées ensemble, donnent une somme = 2a ; mais il faut bien remarquer que $\scriptstyle {\sqrt {X}}$ doit être une quantité irrationnelle ; car, par exemple, $\scriptstyle y=a+{\frac {x^{3}}{b^{2}}}$ & $\scriptstyle y=a-{\frac {x^{3}}{b^{2}}}$ ne satisferoient pas au problème, parce que ces deux équations ne désigneroient pas le système d’une seule & même courbe. De même si on demande une courbe, dans laquelle le produit des deux ordonnées correspondantes à x soit une quantité Q, qui contienne x avec des constantes, ou qui soit une constante, on fera $\scriptstyle y=P\mp {\sqrt {PP-Q}}$, P étant une quantité quelconque qui contienne x avec des constantes, ou qui soit constante ; car le produit des deux valeurs $\scriptstyle P+{\sqrt {PP-Q}}$ & $\scriptstyle P+{\sqrt {PP-Q}}$ donnera Q. Voyez sur tout cela les journaux de Leipsic de 1697, les mémoires de l’acad. des Sciences de 1734, & l’introductio ad analysim infinitorum, par M. Euler, c. xjv.

Cours d’une courbe. Pour déterminer le cours d’une courbe, on doit d’abord résoudre l’équation de cette courbe, & trouver la valeur de y en x ; ensuite on prend différentes valeurs de x, & on cherche les valeurs de y correspondantes ; on voit par-là les endroits où la courbe coupe son axe, savoir les points où la valeur de y = o ; les endroits où la courbe a une asymptote, c’est à-dire, les points où y est infinie, x restant finie, ou bien où y est infinie, & a un rapport fini avec x supposée aussi infinie ; les points où y est imaginaire, & où par conséquent la courbe ne passe pas, &c. Ensuite on fait les mêmes opérations, en prenant x négative. Par exemple, soit $\scriptstyle {(y-{\frac {aa}{a-x}})}^{2}=xx+aa$ l’équation d’une courbe, on aura donc $\scriptstyle y={\frac {aa}{a-x}}\pm {\sqrt {xx+aa}}$ Ce qui fait voir, 1°. que chaque valeur de x donne deux valeurs de y, à cause du double signe $\scriptstyle \pm$ ; 2°. que si x = o, on a $\scriptstyle y=a+a$, c’est-à-dire y = o & y = 2a ; 3°. que si x = a, y = à l’infini, & que par conséquent la courbe a une asymptote au point où x = a, 4°. que si x = à l’infini, on a $\scriptstyle y=\pm x$  ; ce qui prouve que la courbe a des asymptotes qui font avec son axe un angle de 45 degrés ; en faisant x négative, on trouve $\scriptstyle y={\frac {aa}{x-x}}\pm {\sqrt {xx+aa}}$ équation sur laquelle on fera des raisonnemens semblables. Il en est de même des autres cas. Si l’équation

avoit $\scriptstyle {\sqrt {xx-aa}}$ on trouveroit qu’au point où x = o, l’ordonnée devient imaginaire, &c.

On peut tracer à peu-près une courbe par plusieurs points, en prenant plusieurs valeurs de x assez près l’une de l’autre, & cherchant les valeurs de y. Ces méthodes de décrire une courbe par plusieurs points sont plus commodes & en un sens plus exactes que celles de les décrire par un mouvement continu. Voyez Compas elliptique.

Les anciens n’ont guere connu d’autres courbes que le cercle, les sections coniques, la conchoïde, & la cissoïde. Voyez ces mots. La raison en est toute simple, c’est qu’on ne peut guere traiter des courbes sans le secours de l’Algebre, & que l’Algebre paroit avoir été peu connue des anciens. Depuis ce tems on y a ajoûté les paraboles & hyperboles cubiques, & le trident ou parabole de Descartes ; voilà où on en est resté, jusqu’au Traité des lignes du troisieme ordre de M. Newton, dont nous parlerons plus bas. Voyez Parabole, Hyperbole, Trident, &c.

Nous avons dit ci-dessus que les courbes méchaniques sont celles dont l’équation entre les coordonnées n’est & ne peut-être algébrique, c’est-à-dire finie. Nous disons ne peut-être ; car si l’équation différentielle d’une courbe avoit une intégrale finie, cette courbe qui paroîtroit d’abord méchanique, seroit réellement géométrique. Par exemple, si $\scriptstyle dy={\frac {adx}{\sqrt {2ax}}}$, la courbe est géométrique, parce que l’intégrale est $\scriptstyle y={\sqrt {2ax}}+A$ ce qui représente une parabole. Mais l’équation $\scriptstyle dy={\frac {adx}{\pm 2ax-xx}}$ est l’équation d’une courbe méchanique, parce que l’on ne sçauroit trouver l’intégrale de cette équation différentielle. Voyez Différentiel, Integral & Quadrature.

Les anciens ont fait très-peu d’usage des courbes méchaniques ; nous ne leur en connoissons guere que deux, la spirale d’Archimede & la quadratrice de Dinostrate. Voyez ces mots. Ils se servoient de ces courbes pour parvenir d’une maniere plus aisée à la quadrature du cercle. Les modernes ont multiplié à l’infini le nombre des courbes méchaniques ; le calcul différentiel a facilité extrêmement cette multiplication, & les avantages qu’on pouvoit en tirer. V. Mechanique. Revenons aux courbes algébriques ou géométriques, qui sont celles dont il sera principalement mention dans cet article, parce que le caractere de leurs équations qui consiste à être exprimées en termes finis, nous met à portée d’établir sur ces courbes des propositions générales, qui n’ont pas lieu dans les courbes méchaniques. C’est principalement la Géométrie des courbes méchaniques, qu’on appelle Géométrie transcendante, parce qu’elle employe nécessairement le calcul infinitésimal ; au lieu que la Géométrie des courbes algébriques n’employe point, du moins nécessairement, ce calcul pour la découverte des propriétés de ces courbes, si on en excepte leurs rectifications & leurs quadratures ; car on peut déterminer, par exemple, leurs tangentes, leurs asymptotes, leurs branches, &c. & toutes les autres propriétés de cette espece par le secours du seul calcul algébrique ordinaire. Voyez les ouvrages de MM. Euler & de Gua, déja cités, & l’ouvrage de M. Cramer, qui a pour titre introduction à l’analyse des lignes courbes, Genev. 1750. in-4^o.

Nous avons vû ci-dessus comment on transforme les axes x & y d’une courbe par les équations x = Az + B u + C, y = D z + E u + F ; c’est-là la transformation la plus générale, & si on veut faire des transformations plus simples, on n’a qu’à supposer un des coefficiens A, B, C, D, &c. ou plusieurs égaux à zero, pourvû qu’on ne suppose pas, par exemple, A & B ensemble égaux à zero, ni D & E