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gnes de x & de y, elle demeure absolument la même ; donc cette équation ne doit contenir que des puissances ou des dimensions impaires de x & de y, sans terme constant, ou des puissances & des dimensions paires de x & de y, avec ou sans terme constant. Car dans le premier cas, tous les signes changeront, en faisant x & y négatives, ce qui est la même chose que si aucun signe ne changeoit ; & dans le second cas aucun signe ne changera. Voulez-vous donc savoir si une courbe a un centre ? L’équation étant ordonnée par rapport à x & à y, imaginez que l’origine soit transportée dans ce centre, ensorte que l’on ait $\scriptstyle x+a=z,y+b=u$ ; & déterminez a & b à être telles, qu’il ne reste plus dans la transformée que des dimensions paires, ou des dimensions impaires sans terme constant ; si la courbe a un centre possible, vous trouverez pour a & b des valeurs réelles. Dans l’extrait du livre de M. l’abbé de Gua, journal des Savans, Mai 1740, extrait dont je suis l’auteur, on a remarqué que l’énoncé de la méthode de cet habile géometre pour déterminer les centres, étoit un peu trop générale.

Nous ne nous étendrons pas ici sur les manieres de déterminer les différentes branches des courbes ; nous renvoyerons sur ce sujet au livre de M. Cramer, qui a pour titre, introduction a l’analyse des lignes courbes. Nous dirons seulement ici que ce problème dépend de la connoissance des séries & de la regle du parallélogramme, dont nous parlerons en leur lieu. Voyez Parallelogramme, Série, &c.

Division des courbes en differens ordres. Nous avons vû à l’article Conique, comment l’équation générale des sections coniques ou lignes du second ordre donne trois courbes differentes. Voyez le troisieme vol. p. 878, col. 1^re ; nous remarquerons seulement ici, 1° qu’il faut $\scriptstyle -Duu$ au lieu de $\scriptstyle Duu$ ; c’est une faute d’impression : 2° que lorsque D est négatif, & par conséquent $\scriptstyle -Duu$ positif, alors l’équation primitive & générale $\scriptstyle yy+pxy+bxx+qy+cx+a=0$ est telle que la portion $\scriptstyle yy+pxy+bxx$ a ses deux facteurs imaginaires, c’est-à-dire que cette portion $\scriptstyle yy+pxy+bxx$ supposée égale à zéro, ne donneroit aucune racine réelle. On peut aisément s’en assûrer par le calcul ; car en ce cas on trouvera $\scriptstyle {\frac {pp}{4}}<b$ & la quantité A dans la transformée $\scriptstyle zz+Axx+Bx+C=0$ sera positive, & par consequent $\scriptstyle -D$ positive : 3° dans l’équation $\scriptstyle zz-Duu+Fu+G=0$, on peut réduire les trois termes $\scriptstyle -Duu+Fu+G$ à deux + $\scriptstyle Ktt+H$, lorsque D n’est pas = 0, par la même méthode qu’on employe pour faire évanouir le second terme d’une équation du second degré ; c’est-à-dire en faisant $\scriptstyle u-{\frac {F}{2D}}=t$, & alors l’équation sera $\scriptstyle zz+Ktt+H=0$ ; équation à l’ellipse, si K est positif ; & à l’hyperbole, si K est négatif : 4° si $\scriptstyle D=0$, en ce cas on fera $\scriptstyle Fu+G=kt$, & l’équation sera $\scriptstyle zz+kt=0$, qui est à la parabole : 5° dans le cas où $\scriptstyle D=o,yy+pxy+bxx$ a les deux facteurs égaux ; & dans le cas où D est positif, c’est-à-dire où $\scriptstyle -Duu$ est négatif, $\scriptstyle yy+pxy+bxx$ a ses deux facteurs réels & inégaux, & l’équation appartient à l’hyperbole, car en ce cas $\scriptstyle {\frac {pp}{4}}>b$, & A est négative. Voyez sur cela, si vous le jugez à propos, le septieme livre des sections coniques de M. de l’Hopital, qui traite des lieux géométriques ; vous y verrez comment l’équation générale des sections coniques se transforme en équation à la parabole, à l’ellipse ou à l’hyperbole, suivant que $\scriptstyle yy+pxy+bxx$ est un quarré, ou une quantité composée de facteurs imaginaires, ou de facteurs réels inégaux. Passons maintenant aux lignes du troisieme ordre ou courbes du second genre.

Réduction des courbes du second genre. M. Newton

réduit toutes les courbes du second genre à quatre especes principales représentées par quatre équations. Dans la premiere, le rapport des ordonnées y aux abscisses x, est représenté par l’équation $\scriptstyle xyy+ey=ax^{3}+bxx+cx+d$ ; dans la seconde, l’équation a cette forme $\scriptstyle xy=ax^{3}+bxx+cx+d$ ; dans la troisieme, l’équation est $\scriptstyle yy=ax^{3}+bx^{2}+cx+d$ : enfin la quatrieme a pour équation $\scriptstyle y=ax^{3}+bx^{2}+cx+d$.

Pour arriver à ces quatre équations, il faut d’abord prendre l’équation générale la plus composée des lignes du troisieme ordre, & l’écrire ainsi :

$\scriptstyle z^{3}+bz^{2}u+czu^{2}+cu^{3}$	$\left.{\begin{matrix}\ \\\\\ \end{matrix}}\right\}$	$\scriptstyle =0$
$\scriptstyle z^{3}$ $\scriptstyle +fzz+gzu+huu$
$\scriptstyle z^{3}+bz^{2}u$ $\scriptstyle +iz+lu$
$\scriptstyle z^{3}+bz^{2}u+czu^{2}$ $\scriptstyle +m$

On remarquera que le plus haut rang $\scriptstyle z^{3}+bzu^{2}+cuz^{2}+cu^{3}$ étant du troisieme degré, il aura au moins un facteur réel ; les deux autres étant, ou égaux entr’eux & inégaux au premier facteur, ou reels & inégaux, tant entr’eux qu’avec le premier facteur, ou imaginaires, ou enfin égaux au premier. Soit $\scriptstyle z+Au$ ce facteur réel, & faisons d’abord abstraction du cas où les trois facteurs sont égaux ; soit supposé $\scriptstyle z+Au=t$, on aura une transformée qui contiendra t³, t², t, t u u, u t t, t u, u u & u, avec un terme constant ; or on fera d’abord disparoître le terme $\scriptstyle uu,$ en supposant $\scriptstyle t+F=s$ ; ensuite en faisant $\scriptstyle u=Ns+p+Q$ (les grandes lettres désignent ici des coefficiens), on fera disparoître les termes $\scriptstyle utt$ & $\scriptstyle ut$, & il ne restera plus que des termes qui représenteront la premiere équation $\scriptstyle xyy+ey=ax^{3}+bxx+cx+d=0$.

En second lieu, si les trois facteurs du plus haut rang sont égaux, on n’aura dans l’équation transformée, en faisant $\scriptstyle z+Au=t$, que les termes t³, t², t, u, t u, u u, & un terme constant. Or on peut faire disparoitre les termes $\scriptstyle tu$ & $\scriptstyle u$, en supposant $\scriptstyle u+Rt+K=s$, & l’on aura une équation de la forme $\scriptstyle yy=ax^{3}+bx^{2}+cx+d$. Troisieme forme de M. Newton. Nous remarquerons même que cette équation pourroit encore se simplifier ; car en supposant $\scriptstyle x=R+q$, on feroit évanoüir les termes $\scriptstyle bxx$ ou $\scriptstyle d$, & quelquefois le terme $\scriptstyle cx$.

3°. Si les trois facteurs du premier rang sont égaux, & que de plus un de ces facteurs soit aussi facteur du second rang $\scriptstyle fzz+gzu+huu$, alors la transformée aura des termes de cette forme t³, t, t u, t t, u, & un terme constant. Or faisant $\scriptstyle t+R=q$, on fera disparoître le terme $\scriptstyle u$, & on aura une équation de cette forme $\scriptstyle xy=ax^{3}+bx^{2}+cx+d$. Seconde forme de M. Newton. Cependant on pourroit encore simplifier cette équation, & faire disparoître les deux termes $\scriptstyle bx^{2}+cx$, en supposant $\scriptstyle x=Qp$, & $\scriptstyle y=Np+Rz+M$.

4°. Enfin si les trois facteurs du premier rang étant égaux, ceux du second sont les mêmes, l’équation alors n’aura que des termes de cette forme t³, t t, u & t, avec un terme constant, & elle sera de la quatrieme forme de M. Newton, $\scriptstyle y=ax^{3}+bx^{2}+cx+d$, de laquelle on peut encore faire disparoître les termes $\scriptstyle bx^{2}+cx+d$, en supposant $\scriptstyle x=p+R$, & $\scriptstyle y+Nx+Q=z$. En ce cas l’équation sera de la forme $\scriptstyle y=Ax^{3}$, & représentera la premiere parabole cubique. Voy. les usages de l’analyse de Descartes, par M. l’abbé de Gua, page 437 & suiv.

On voit par ce détail sur quoi est fondée la division générale des lignes du troisieme ordre qu’a donné M. Newton ; on voit de plus que les équations qu’il a données auroient pû encore recevoir toutes une forme plus simple, à l’exception de la premiere.

Enumération des courbes du second genre. L’auteur subdivise ensuite ces quatre especes principales en