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7°. Si $\scriptstyle x={\frac {a^{2}+bb}{c}}$ : on construira le triangle rectangle ABC (Planc. Algebre, fig. 1.) dont le côté AB soit a, BC, b, & l’hypothenuse sera alors $\scriptstyle {\sqrt {aa+bb}}$ : faisant $\scriptstyle AC=m$ on aura $\scriptstyle x={\frac {mm}{c}}$, & par conséquent $\scriptstyle c:m=m:x$.

8°. Si $\scriptstyle x={\frac {a^{2}-b^{2}}{c}}$, sur $\scriptstyle AB=a$ (fig. 2.) on décrira un demi cercle, & l’on prendra $\scriptstyle AC=b$, ce qui donnera $\scriptstyle BC={\sqrt {aa-bb}}$ ; faisant donc $\scriptstyle CB=m$, on aura $\scriptstyle x={\frac {mm}{c}}$, c’est-à-dire $\scriptstyle c:m=m:x$.

9°. Si $\scriptstyle x={\frac {a^{2}b+bcd}{af+bc}}$, on cherchera $\scriptstyle {\frac {fa}{b}}$ & l’on fera $\scriptstyle h={\frac {fa}{b}}+c$, ce qui donnera $\scriptstyle bc+af=bh$, & par conséquent $\scriptstyle x={\frac {a^{2}b+bcd}{bh}}={\frac {a^{2}+cd}{h}}$. Trouvant alors entre $\scriptstyle AC=c$ (fig. 3.) & $\scriptstyle CB=d$ la moyenne proportionnelle $\scriptstyle CD={\sqrt {cd}}$ & faisant $\scriptstyle CE=a$, on aura $\scriptstyle DE={\sqrt {a^{2}+cd}}$, qui étant nommée m, donnera $\scriptstyle x={\frac {mm}{h}}$ : & partant $\scriptstyle h:m=m:x$.

Il est à remarquer que les constructions que nous venons de donner des trois derniers exemples, ne sont que pour plus d’élégance & de simplicité ; car on pourroit les construire, & on en a déjà construit plusieurs autrement ci-dessus, n°. 3 & 5.

La construction des équations du second degré, lorsque l’inconnue est délivrée, ne demande pas d’autres regles que celles qu’on vient de donner. Qu’on ait, par exemple, $\scriptstyle x^{2}=ab$, on en tirera $\scriptstyle x={\sqrt {ab}}$ que l’on construit en trouvant la moyenne proportionnelle DC entre AC = a & BC = b.

Si l’équation a un second terme comme $\scriptstyle xx+aa=\pm bb$, qui donne $\scriptstyle x=-{\frac {1}{2}}a\pm {\sqrt {{\frac {1}{4}}aa\pm bb}}$, toute la difficulté consistera à construire $\scriptstyle {\sqrt {{\frac {1}{4}}aa+bb}}$ ou $\scriptstyle {\sqrt {{\frac {1}{4}}aa-bb}}$. Pour le premier cas on fera comme dans les constructions précédentes, (fig. 1.) $\scriptstyle AB={\frac {1}{2}}a$ & $\scriptstyle BC=b$, ce qui donnera $\scriptstyle AC={\sqrt {{\frac {1}{4}}aa+bb}}$. Dans le second on fera (figure 2.) $\scriptstyle AC=b$ & $\scriptstyle AB={\frac {1}{2}}a$, ce qui donnera $\scriptstyle CB={\sqrt {{\frac {1}{4}}a^{2}-b^{2}}}$.

Les équations du troisieme degré peuvent se construire, 1°. par l’intersection d’une ligne droite & d’un lieu du troisieme degré. Par exemple, soit $\scriptstyle x^{3}+ax^{2}-bbx+c^{3}=0$ ; on construira le lieu ou la courbe EMBCF (fig. 4 Algebr.) dont l’équation soit $\scriptstyle x^{3}+ax^{2}-bbx+c^{3}=y$, en prenant les variables AP pour x & PM pour y ; & les points B, C, D, où cette courbe rencontrera son axe, donneront les racines AB, AC, AD, de l’équation ; car dans ces points y est = 0, puisque y exprime en général la distance PM de chaque point M de la courbe à son axe AD : par conséquent on a $\scriptstyle x^{3}+ax^{2}-bbx+c^{3}=0$ 1°. lorsque x est = AB : 2°. lorsque x = AC : 3°. lorsque x = AD. Donc les valeurs de l’inconnue x, propres à rendre x^3 $\scriptstyle +axx-bbx+c^{3}=0$ sont AB, AC, AD. Les racines de l’équation seront positives ou négatives, selon que les points B, C, D, tomberont d’un côté ou de l’autre par rapport à A, & si la courbe ne coupoit pas son axe en trois points, ce seroit une marque qu’il y auroit des racines imaginaires.

Je rapporte ici cette méthode de construire les équations du troisieme degré, parce qu’elle peut s’appliquer généralement aux degrés plus élevés à l’infini, & qu’elle est peut-être aussi commode & aussi simple qu’aucune autre. Ainsi en général l’équation $\scriptstyle x^{n}+ax^{n-1}+bbx^{n-2}+\&c.+e^{n}=0$ peut se construire par la courbe dont l’équation seroit $\scriptstyle x^{n}+ax^{n-1}+bbx^{n-2}+\&c.+e^{n}=y$, dont les intersections avec son axe donneront les

racines de l’équation. Ces sortes de courbes où l’indéterminée y ne monte qu’à un degré, s’appellent courbes de genre parabolique. Et je dois remarquer ici que M. l’abbé de Gua s’est servi avec beaucoup de sagacité de la considération de ces sortes de courbes, pour découvrir & démontrer de fort beaux théoremes sur les racines des équations. Voyez Racine ; voyez aussi les Mémoires de l’Acad. des Scienc. de l’aris, de 1741, & l’article Courbe.

Mais en général la méthode de résoudre les équations du troisieme & du quatriéme degré consiste à y employer deux sections coniques, & ces deux sections coniques doivent être les plus simples qu’il se puisse ; c’est pourquoi on construit toutes ces équations par le moyen du cercle & de la parabole. Voici une légere idée de cette méthode. Soit proposé de construire $\scriptstyle x^{3}=bbc$ : on supose d’abord $\scriptstyle x^{4}=bbcx$ en multipliant le tout par x ; ensuite on suppose $\scriptstyle xx=by$, qui est l’équation d’une parabole, & on a par la substitution $\scriptstyle x^{4}=bbyy=bbcx$, & $\scriptstyle yy=cx$, qui est l’équation d’une parabole. Ainsi on pourroit resoudre le problême en construisant les deux paraboles BAC, DA (fig. 5.), qui ont pour équation $\scriptstyle yy=cx$ & $\scriptstyle xx=by$ ; le point d’intersection C de ces paraboles donneroit la valeur OC de l’inconnue x. Car l’inconnue x doit être telle que $\scriptstyle xx=by$ & que $\scriptstyle yy=cx$ : or nommant en général AP, x, P, R, y, ou AS, y, SR, x ; il n’y a que le seul point C où l’on ait à la fois $\scriptstyle xx=by$ & $\scriptstyle yy=cx$. Mais comme le cercle est plus facile à construire que la parabole, au lieu d’employer deux paraboles on n’en emploie qu’une ; par exemple, celle qui a pour équation $\scriptstyle xx=by$, & on combine ensemble les deux équations $\scriptstyle xx=by$ & $\scriptstyle yy=cx$ de maniere qu’elles donnent une équation au cercle, ce qui se fait en ajoûtant une de ces équations à l’autre ou en l’en retrunchant, comme on le peut voir expliqué plus au long dans l’application de l’Algebre à la Géornétrie de M. Guisnée, & dans le neuvieme livre des sections coniques de M. le marquis de l’Hôpital. Par exemple, dans le cas dont il s’agit ici, on aura $\scriptstyle cx-xx=yy-by$ qui est une équation au cercle ; & si on construit ce cercle, ses points d’intersection avec la parabole qui a pour équation $\scriptstyle xx=by$ donneront les racines de l’équation.

On voit par-là que pour construire une équation du troisieme degré, il faut d’abord en la multipliant par x la changer en une du quatrieme : on peut en ce cas la regarder comme une équation du quatrieme degré, dont une des racines seroit = 0. Car, soient x = a, x = b, x = c, les racines d’une équation du troisieme degré, $\scriptstyle x^{3}+pxx+qx+r=0$, si on multiplie cette équation par x, on aura $\scriptstyle x^{4}+px^{3}+qxx+rx$, dont les racines seront x = 0, x = a, x = b, x = c. Aussi lorsque l’équation est du troisieme degré, l’équation au cercle qu’on en déduit n’a point de terme constant ; d’où il s’ensuit qu’en faisant dans cette équation y = 0, x est aussi = 0 ; V. Courbe & Equation ; & comme dans l’équation à la parabole $\scriptstyle xx=by,~y=0$ rend aussi x = 0, on voit que quand l’équation est du troisieme degré, le cercle & la parabole se coupent dans le point qui est l’origine des x & des y, & c’est cette intersection qui donne la racine x = 0 ; les trois autres intersections donnent les trois racines. C’est ainsi qu’en Géométrie tout s’accorde & se rapproche.

Les équations des degrés plus composés se construisent de même par l’intersection de courbes plus élevées ; par exemple, un lieu du sixieme degré par l’intersection de deux courbes du troisieme, qu’il faut toûjours choisir de maniere que leur équation soit la plus simple qu’il se puisse, selon plusieurs auteurs : cependant selon d’autres cette regle ne doit pas être suivie à la rigueur, parce qu’il arrive sou-