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sieurs excellens articles qu’il nous a envoyés.

I. Echelle arithmétique, dit-il, est le nom qu’on donne à une progression géométrique par laquelle se regle la valeur relative des chiffres simples, ou l’accroissement graduel de valeur qu’ils tirent du rang qu’ils occupent entr’eux.

Elle est formée de puissances consécutives d’un nombre r, toûjours égal à celui des caracteres numériques ou chiffres (y compris 0), auquel on a trouvé bon de se fixer dans le système de numération établi ; & le premier & le plus petit terme en est $\scriptstyle r^{0}$.

II. Etant donc posée une telle progression, si l’on conçoit une suite de chiffres pris comme on voudra, qui lui corresponde terme à terme, on est convenu que la valeur relative de chacun d’eux seroit le produit de sa valeur propre ou absolue par la puissance de r qui lui correspond dans la progression. Cette idée heureuse nous met en état de représenter nettement & avec peu de caracteres les nombres les plus grands & incapables par leur grandeur même d’être saisis par notre imagination.

III. Comme les rangs des chiffres se comptent dans le même sens qu’est dirigé le cours des exposans potentiels dans la progression, & que le premier exposant est 0, il suit que l’exposant de la puissance est toûjours plus petit d’une unité que le rang du chiffre correspondant ; ensorte que nommant n le rang qu’occupe un chiffre a quelconque dans sa suite, l’expression de sa valeur relative est généralement $\scriptstyle a\times r^{n-1}$.

Si l’on cherche, par exemple, la valeur du 4 dans 437, relativement à notre échelle, où $\scriptstyle r=10$, & où les rangs se comptent de droite à gauche, on la trouvera $\scriptstyle =4\times 10^{3-1}=4\times 10^{2}=4\times 100=400$.

IV. Le nombre r est dit la racine de l’échelle ; & c’est de lui que l’échelle même prend son nom. $\scriptstyle r=10$ fait nommer denaire celle dont nous nous servons ; $\scriptstyle r=2$ donneroit l’échelle binaire ; $\scriptstyle r=7$ la septenaire, &c.

V. La progression décuple qui constitue notre échelle, est croissante de droite à gauche, & nous supposerons la même direction dans toutes les autres auxquelles nous pourrons la comparer ; mais elle pouvoit l’être tout aussi bien de gauche à droite. On eût pû même lui donner une direction verticale & la rendre croissante, soit de haut en-bas, soit de bas en-haut. En un mot l’arbitraire avoit lieu ici tout comme pour l’écriture : si nous dirigeons nos lignes de gauche à droite, d’autres peuples les ont dirigées & les dirigent encore de droite à gauche ; d’autres de bas en-haut ou de haut en-bas.

VI. r trop petit nous eût réduit à employer beaucoup de caracteres pour représenter un nombre assez médiocre. r trop grand nous eût obligé de multiplier les caracteres, au risque de surcharger la mémoire & aux dépens de la simplicité. $\scriptstyle r=10$ semble entre ces deux extrèmes tenir un juste milieu. Ce n’est pas que quelques savans n’ayent pensé qu’on eût pû mieux choisir. Voyez Binaire. Pour mettre le lecteur en état de juger de leur prétention, nous allons donner le moyen de comparer entr’elles les diverses échelles arithmétiques. Tout peut se réduire aux cinq ou même aux trois problèmes ci-après :

VII. Problème 1. L’expression a d’un nombre étant donnée dans l’échelle usuelle, trouver l’expression du même nombre dans une autre échelle quelconque, dont la racine b est aussi donnée.

Solution. Cherchez la plus haute puissance de b qui soit contenue dans a. Nommant n l’exposant de cette puissance, n+1 sera le nombre de chiffres de l’expression cherchée. Pour l’avoir, divisez a par bⁿ, le premier reste par $\scriptstyle b^{n-1}$, le second reste par $\scriptstyle b^{n-1}$, &

ainsi de suite jusqu’à $\scriptstyle b^{n-n}$ ou $\scriptstyle b^{0}$ inclusivement. Tous ces quotiens pris en nombres entiers & écrits à la suite l’un de l’autre dans l’ordre qu’ils viendront, donneront l’expression cherchée dans l’échelle dont la racine est b ; ensorte que désignant le premier reste par $\scriptstyle {\overset {1}{r}}$, le second reste par $\scriptstyle {\overset {2}{r}}$, &c. la formule générale sera $\scriptstyle {\frac {a}{b^{n}}}.{\overset {1}{\frac {r}{b^{n-1}}}}.{\overset {2}{\frac {r}{b^{n-2}}}}...{\overset {n}{\frac {r}{b^{0}}}}$

Exemple. Un nombre exprimé par 4497 dans l’échelle usuelle, comment le sera-t-il dans la septenaire ?

	$\scriptstyle a=4497$	$\left.{\begin{matrix}\ \\\ \end{matrix}}\right\}$	Substituant dans la formule on aura
	$\scriptstyle b=7$		$\scriptstyle {\frac {4497}{2401}}$. $\scriptstyle {\frac {2096}{343}}$. $\scriptstyle {\frac {38}{49}}$. $\scriptstyle {\frac {38}{7}}$. $\scriptstyle {\frac {3}{1}}$ =
on trouve	n = 4		1.6.0.5.3 = 16503

Le même nombre ne pourroit être exprimé dans l’échelle binaire par moins de treize caracteres.

VIII. Problème 2. L’expression A d’un nombre étant donnée dans une échelle quelconque (autre que l’usuelle), dont la racine b est connue, trouver l’expression du même nombre dans l’échelle usuelle.

Solution. Soient les chiffres du nombre A représentés dans le même ordre par les indéterminées c. d. e. f..... D.

Nommant n+1 le nombre des chiffres de A, n sera (n°. 7.) l’exposant de la plus haute puissance de b qui y soit contenue. Cela posé, multipliez respectivement c par $\scriptstyle b^{n}$, d par $\scriptstyle b^{n-1}$, & ainsi de suite, jusqu’à $\scriptstyle b^{o}$ inclusivement, la somme de tous ces produits

sera dans l’échelle usuelle l’expression cherchée du nombre proposé, dont la formule générale sera $\scriptstyle cb^{n}+db^{n-1}+ab^{n-2}+...+Db^{0}$.

Exemple. Un nombre exprimé par 16053 dans l’échelle septenaire, comment le sera-t-il dans l’échelle usuelle ?

	$\scriptstyle A=16053$	$\left.{\begin{matrix}\ \\\\\\\ \end{matrix}}\right\}$	substituant, on trouve
d’ou	$\scriptstyle x=4$		$\scriptstyle {1\times 7^{4}}+{6\times 7^{3}}+{5\times 7^{2}}+{\times 7^{4}}=$
	$\scriptstyle b=7$		$\scriptstyle 2401+2058+0+35+3=$
	$\scriptstyle c=1,d=6$, &c.		$\scriptstyle 4497$

IX. Problème 3. L’expression a d’un nombre étant donnée dans l’échelle usuelle, & l’expression A du même nombre dans une autre échelle, trouver la racine b de cette seconde échelle.

Solution. Par le problème précédent $\scriptstyle cb^{n}+db^{n-1}+ab^{n-2}+...+Db^{0}-a=0$ équation du degré n, laquelle étant résolue donnera la valeur de b. Voyez Equation.

Exemple. Le même nombre est exprimé par 4497 dans l’échelle usuelle, & par 16053 dans une autre échelle : quelle est la racine b de cette seconde échelle ?

	$\scriptstyle a=4497$	$\left.{\begin{matrix}\ \\\\\\\ \end{matrix}}\right\}$	substituant, on aura après réduction
	$\scriptstyle A=16053$		$\scriptstyle {b^{4}}+{6b^{3}}+{5b}+{4494}=0$
d’ou	$\scriptstyle n=4$		à résoudre
	$\scriptstyle c=1,d=6$, &c.

Mais sans entier dans aucun calcul, il est aisé de voir que b est d’un côté < 10 (puisqu’il y a plus de chiffres dans A que dans a), & d’un autre côté > 6 (puisque 6 entre dans l’expression A) ; essayant donc les nombres entre 6 & 10, on trouve que 7 est celui qui convient, & qu’il résoud l’équation.

X. Problème 4. Etant données les racines b & r de deux échelles (toutes deux autres que l’usuelle) avec l’expression A d’un nombre dans la premiere, trouver l’expression du même nombre dans la seconde.

Problème 5. Etant données les expressions A & a