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(fig. 21. n. 2.) de la maniere expliquée ci-dessus.

Ou en la définissant par une de ses propriétés supposée connue, c’est une ligne courbe dans laquelle le quarré de la demi-ordonnée PM (fig. 21.) est au rectangle des segmens AP, & BP de l’axe, comme le parametre est à l’axe ; ainsi supposant AB = a, le parametre=b, PM = y, AP = x, on aura $\scriptstyle b~:~a~::~yy~ax-xx$, & par conséquent $\scriptstyle ayy=abx-bxx$.

Nous ne donnons point la démonstration de cette propriété, parce qu’elle se trouve par-tout. Nous avons exposé les différentes définitions qu’on peut donner de l’ellipse, & cette derniere propriété peut être regardée, si l’on veut, comme une des définitions qu’on peut en donner, auquel cas la démonstration en seroit superflue. Mais la meilleure maniere de traiter de l’ellipse & de toutes les sections coniques géométriquement, est de les considérer d’abord dans le cone, d’en déduire leur équation, & de les transporter de-là sur le plan, pour considérer plus facilement leurs propriétés, & pour trouver, si l’on veut, la maniere de les décrire par un mouvement continu, ou par plusieurs points. Ainsi des propriétés de l’ellipse transportée & considérée sur le plan, résulte la description de l’ellipse telle que nous l’avons donnée au mot Conique.

J’ai dit que la meilleure maniere de traiter géométriquement les sections coniques, & en particulier l’ellipse, étoit de les faire naître dans le cone ; car si on veut les considérer algébriquement par la nature & les différences de leurs équations, la meilleure maniere est celle dont j’ai parlé au mot Conique. Voy. aussi les articles Courbe & Construction.

Si on prenoit les abscisses x au centre C, on trouveroit $\scriptstyle yy=\left({\frac {aa}{4}}-xx\right)\times {\frac {b}{a}}$. Quelquefois cette équation est plus commode que $\scriptstyle ayy=abx-bxx$.

De cette derniere équation il s’ensuit, 1^o. que $\scriptstyle yy=bx-{\frac {bxx}{a}}$, c’est-à-dire que le quarré de la demi-ordonnée est égal au rectangle du parametre par l’abscisse, moins un autre rectangle formé par la même abscisse, & une quatrieme proportionnelle à l’axe, au parametre, & à l’abscisse.

2^o. Le parametre, l’abscisse, & la demi-ordonnée d’une ellipse, étant donnés, on trouvera l’axe en faisant ces proportions $\scriptstyle b~:~y~::~y~:~{\frac {yy}{b}}$, & $\scriptstyle x-{\frac {yy}{b}}~:~x~::~x~:~a$. Voyez Construction.

3^o. L’abscisse AP, l’axe AB, & l’ordonnée PM, étant donnés, on trouve le parametre en faisant $\scriptstyle {\frac {ayy}{ax-xx}}$, & construisant ensuite cette valeur de b suivant les regles expliquées au mot Construction.

4^o. Si du grand axe AB comme diametre (figure 22.), on décrit un cercle ACB, & que par le foyer F on mene FC ordonnée à l’axe, FC sera la moitié du petit axe, & FD la moitié du parametre du grand axe. Car l’abscisse $\scriptstyle GF={\sqrt {(Fe^{2}-GE^{2})}}=\textstyle {\sqrt {\left({\frac {aa}{4}}-{\frac {pa}{4}}\right)}}$, pa étant le quarré du petit axe. V. Parametre & Foyer. Or $\scriptstyle CF^{2}={\frac {aa}{4}}-GF^{2}$, par la propriété du cercle ; donc $\scriptstyle CF={\frac {\sqrt {pa}}{2}}=$ moitié du petit axe. Or $\scriptstyle CF^{2}$ est à $\scriptstyle DF^{2}$, comme la moitié du grand axe est au demi-parametre, c’est-à-dire comme le quarré de la moitié du petit axe est au quarré de la moitié du parametre ; donc DF = la moitié du parametre. Le cercle qui a pour diametre le grand axe de l’ellipse, est appellé circonscrit à l’ellipse ; le cercle qui a pour diametre le petit axe, est appellé cercle inscrit : en effet le premier de ces cercles est extérieur, le second intérieur à l’ellipse.

5^o. Le parametre & l’axe AB étant donnés, on trouvera facilement l’axe conjugué, puisque c’est

une moyenne proportionnelle entre l’axe & le parametre ; à quoi il faut ajoûter que le quarré du demi-axe conjugué est égal au rectangle formé sur Bf & fA (fig. 21.) ou sur AF & BF.

6^o. Dans une ellipse quelconque, les quarrés des demi-ordonnées PM, pm, &c. sont entr’eux comme les rectangles formés sur les segmens de l’axe : d’où il s’ensuit que $\scriptstyle DC^{2}~:~PM^{2}~::~CB^{2}~:~AP\times BP$, & par conséquent $\scriptstyle DC^{2}~:~BC^{2}~::~PM^{2}~:~AP\times BP$ ; c’est-à-dire que le quarré du petit axe est au quarré du grand, comme le quarré de la demi-ordonnée est au rectangle formé sur les segmens de l’axe.

7^o. La droite FD (fig. 24.) tirée du foyer F à l’extrémité du demi-axe conjugué, étant égale à la moitié de l’axe transverse AC, il s’ensuit que les axes conjugués étant donnés, on peut aisément déterminer les foyers. Pour cela on coupera le grand axe AB en deux parties égales en C, on élevera du point C la perpendiculaire CD égale au demi-axe conjugué ; enfin du point D pris pour centre, & de l’intervalle CA, on décrira un arc de cercle, il déterminera les foyers F & f par ses intersections avec le grand axe.

8^o. Comme la somme des deux droites FM & fM, tirées des deux points F & f, au même point de la circonférence M, est toûjours égale au grand axe AB, il s’ensuit de-là que les axes conjugués d’une ellipse étant donnés, on peut facilement décrire l’ellipse. Voyez Conique.

9^o. Le rectangle formé sur les segmens de l’axe conjugué est au quarré de la demi-ordonnée, comme le quarré de l’axe conjugué est au quarré du grand axe ; d’où il s’ensuit que les coordonnées à l’axe conjugué ont entr’elles un rapport analogue à celui qui regne entre les coordonnées au grand axe.

10^o. Pour déterminer la soûtangente PT (figure 23.) & la soûnormale PR dans une ellipse quelconque, on fera : comme le premier axe est au parametre, ainsi la distance de la demi-ordonnée au centre est à la soûnormale. Voyez Soûnormale.

11^o. Le rectangle sous les segmens de l’axe est égal au rectangle formé de la distance de la demi-ordonnée au centre & de la soûtangente. Voyez Soûtangente.

12^o. Le rectangle fait de la soûtangente & de la distance de l’ordonnée au centre, est égal à la différence du quarré de cette distance & du quarré du demi-axe transverse.

13^o. Dans toute ellipse le quarré de la demi-ordonnée à un diametre quelconque, est au quarré du demi-diametre conjugué, comme le rectangle fait sous les segmens du diametre est au quarré du diametre ; & par conséquent le rapport des demi-ordonnée, des diametres est le même que celui des ordonnées des axes ; le parametre d’un diametre quelconque est aussi une troisieme proportionnelle à ce diametre & à son conjugué.

Nous avons rapporté ces propriétés de l’ellipse la plûpart sans démonstration, pour deux raisons : la premiere, afin que le lecteur ait sous les yeux dans un assez petit espace les principales propriétés de l’ellipse, auxquelles il peut joindre celles dont on a déjà fait mention à l’article Conique. La seconde raison est de donner au lecteur l’occasion de s’exercer en cherchant la démonstration de ces propriétés. Toutes celles que nous venons d’énoncer se déduisent aisément de l’équation $\scriptstyle yy=(ax-xx){\frac {b}{a}}$ ou $\scriptstyle ({\frac {aa}{4}}-xx){\frac {b}{a}}$, selon qu’on prendra les abscisses au centre ou au sommet, pour démontrer plus simplement ces propriétés. Pour démontrer les propriétés des foyers, on nommera CF (fig. 21.) f ; & on remarquera que si e est le second axe, on aura