déjà trouvées, & on les marque ordinairement par les dernieres lettres x, y, z, &c. de l’alphabet, marquant en même tems les quantités connues par les premieres lettres de l’alphabet, comme b, c, d, &c. Voyez Quantité, Caractere, &c.
Toutes les quantités qui doivent entrer dans la question, étant ainsi nommées, on examine si la question est sujette à restriction, ou non, c’est-à-dire si elle est déterminée ou indéterminée. Voici les regles par lesquelles on peut le savoir.
1°. S’il y a plus de quantités inconnues qu’il n’y a d’équations données ou renfermées dans la question, le problème est indéterminé, & peut avoir une infinité de solutions. Quand les équations ne sont pas expressément contenues dans le problème, on les trouve par le moyen des théorèmes sur l’égalité des grandeurs. Voyez Egal.
2°. Si les équations données ou renfermées dans le problème sont précisément en même nombre que les quantités inconnues, le problème est déterminé, c’est-à-dire n’admet qu’un nombre de solutions limité.
3°. S’il y a moins d’inconnues que d’équations, le problème est plus que déterminé, & on découvre quelquefois qu’il est impossible par les contradictions qui se trouvent dans les équations. Voyez Déterminé.
Maintenant, pour mettre une question en équation, c’est-à-dire pour la réduire en différentes équations médiates par le moyen desquelles on puisse parvenir à une équation finale, la principale chose à laquelle on doit faire attention, c’est d’exprimer toutes les conditions de la question par autant d’équations. Pour y parvenir, il faut examiner si les propositions ou mots dans lesquels la question est exprimée, peuvent être rendus par des termes algébriques, comme nous rendons nos idées ordinaires en caracteres grecs, latins ou françois, &c. Si cela est ainsi, comme il arrive généralement ; dans toutes les questions que l’on fait sur les nombres ou sur les quantités abstraites, en ce cas il faut donner des noms aux quantités inconnues & connues, autant que la question le demande, & traduire ainsi en langage algébrique le sens de la question. Ces conditions ainsi traduites donneront autant d’équations que le problème peut en fournir. On a déjà donné au mot Arithmétique universelle un exemple de cette traduction d’une question en langage algébrique.
Donnons encore un autre exemple. Un marchand augmente tous les ans son bien d’un tiers, en ôtant 100 liv. qu’il dépense par an dans sa famille, au bout de trois ans il trouve son bien doublé. On demande combien ce marchand avoit de bien au commencement de ces trois ans. Pour résoudre cette question, il faut bien prendre garde aux différentes propositions qu’elle renferme, & qui fourniront les équations suivantes.
| En langage ordinaire un marchand a un bien dont il dépense la premiere année 100 liv. | Algébriquement |
| Et augmente le reste d’un tiers | ou |
| La seconde année il dépense 100 liv. | ou |
| Et augmente le reste d’un tiers | ou |
| La troisieme année il dépense 100 liv. | ou |
| Et augmente le reste d’un tiers | ou |
| Et au bout des trois ans il est deux fois plus riche qu’il n’étoit. |
La question se réduit donc à résoudre cette équation , par le moyen de laquelle on trouvera la valeur de x de la maniere suivante.
On multipliera l’équation par 27, & on aura ; on ôtera de part & d’autre , & on aura , ou ; divisant par 10, il viendra . Ainsi ce marchand avoit 1480 liv. de bien.
Il résulte de ce que nous venons de dire, que pour résoudre les questions qu’on propose sur les nombres ou sur les quantités abstraites, il ne faut presque que les traduire du langage ordinaire en langage algébrique, c’est-à-dire en caracteres propres à exprimer nos idées sur les rapports des quantités. Il est vrai qu’il peut arriver quelquefois que le discours dans lequel l’équation est proposée, ne puisse être rendu algebriquement ; mais en y faisant quelques petits changemens, & ayant principalement égard au sens, plûtôt qu’aux mots, la traduction deviendra assez facile ; la difficulté qui peut se rencontrer dans cette traduction vient uniquement de la différence des idiomes, comme dans les traductions ordinaires. Cependant pour faciliter la solution de ces sortes de problemes, nous allons en donner un exemple ou deux.
1°. Etant donné la somme de deux nombres a, & la différence de leurs quarrés b, trouver les nombres ; supposons que le plus petit de ces nombres soit x, l’autre sera , & les quarrés seront xx, & , dont la différence est , qui doit être égale à b ; donc ; donc & .
Supposons, par exemple, que la somme des nombres ou la quantité a soit = 8, & que la différence des quarrés soit 16, alors ou sera , & on aura ; donc les nombres cherchés sont 3 & 5. Voyez Diophante.
2°. Trouver trois quantités x, y, z, dont on connoisse la somme, étant prises deux à deux. Supposons que la somme de x & de y soit a, que celle de x & de z soit b, & que celle de y & de z soit c, on aura les trois équations , , ; pour chasser maintenant deux des trois quantités x, y, z, par exemple, z & y, on aura par la premiere & par la seconde équation & ; on substituera dans la troisieme équation ces valeurs au lieu de y & de z, & l’on aura , & ; x étant trouvée, on aura y & z par le moyen des équations & .
Par exemple, si la somme de x & de y est 9, celle de x & de z, 10, & celle de y & de z, 13 ; dans les valeurs de x, y & z, on écrira 9 pour a, 10 pour b, & 13 pour c, & on aura , par conséquent x ou ; y ou & z ou .
3°. Diviser une quantité donnée en un nombre quelconque de parties, telles que les différences des plus grandes sur les plus petites, soient égales à des quantités données. Supposons que a soit une quantité que l’on propose de diviser en quatre parties, telles que la premiere & la plus petite soit x ; que l’excès de la seconde sur la premiere soit b, celui de la troisieme soit c, & celui de la quatrieme d, sera la seconde partie, la troisieme, la
