duisons la question. La formule est =0 dans le cas de l’égalité de certaines racines ; soit cette formule appellée P. Supposons maintenant les racines inégales, en sorte que 2t soit leur différence (c’est-à-dire que +t doive être ajoûté à l’une, & − t à l’autre), en ce cas la formule deviendra , &c. R, S, Q, désignant des quantités connues : or, pour que la méthode de M. Fontaine ait lieu dans tous les cas, il faut, 1°. que R ne soit jamais =0, ou du moins que si R=0, S le soit aussi, en un mot que t se trouve toûjours à une puissance impaire dans le premier des coefficiens ; autrement t étant supposé très-petit, les deux formules seroient l’une & l’autre > ou < 0, t étant positif ou négatif : 2°. qu’en supposant t positif, , &c. soit toûjours du même signe, t ayant telle valeur qu’on voudra : 3°. qu’en supposant t négatif, , &c. soit toûjours de signe contraire au précédent, t ayant telle valeur qu’on voudra. Ces trois propositions démontrées, il ne restera plus de doute sur la généralité & la certitude de la méthode proposée par M. Fontaine.
Il seroit encore à souhaiter que l’auteur donnât une démonstration de la méthode qu’il propose, pour approcher, aussi près qu’on veut, des racines des équations ; il semble supposer encore dans l’exposé de cette méthode, que quand une certaine valeur de φ rend =0 une quantité ou fonction de φ, deux autres valeurs de φ, l’une plus grande, l’autre plus petite, donneront l’une moins ou plus que zéro, l’autre plus ou moins que zéro. Cela n’est pas vrai en général, mais cela pourroit l’être dans le cas particulier de M. Fontaine ; & c’est ce qu’il seroit bon de prouver. Voyez l’article Racine.
Il nous reste à faire quelques réflexions sur les équations appliquées à la Géométrie. Nous avons indiqué au mot Découverte, par quel raisonnement Descartes est parvenu à appliquer les équations indéterminées aux courbes ; les mots Courbe, Différentiel, Tangente, &c. & autres semblables, font voir en détail les applications & les conséquences de ce principe. On a vû aussi au mot Construction, comment on construit les équations par la Géométrie. Il ne nous reste ici qu’un mot à dire sur la multiplicité des racines des équations en Géométrie. Les observations que nous avons à faire sur ce sujet, sont une suite de celles que nous avons déjà faites sur les racines multiples des équations algébriques.
Supposons, par exemple, qu’on propose de diviser une ligne a en moyenne & extrème raison, nommant x la partie cherchée de cette ligne, on aura a : x ∷ x : a−x ; d’où l’on tire , & ; la racine négative de cette équation ne sauroit servir ici, mais elle serviroit à la solution de ce problème, trouver dans le prolongement de la ligne donnée a une ligne x, telle que a : x ∷ x : a+x ; dans ce cas la racine négative devient positive, & la positive négative ; & l’équation est .
Si on propose de tirer du point A une ligne AE (fig. 11. d’Algeb.) dans un cercle, telle que BO étant perpendiculaire au diametre AD, & donnée de position, on ait FE= à une ligne donnée a, on aura en nommant BF, x, une équation du quatrieme degré qui n’aura ni second, ni quatrieme terme ; cette équation aura deux racines positives BF & Bf, telles que FE d’une part, & fe de l’autre, seront égales à a ; & deux autres racines égales aux deux précédentes & de signes contraires, parce qu’en achevant le cercle, & prolongeant OB en-dessous, le problème aura deux solutions pareilles ; si a étoit plus grand que BD, les racines seroient imaginaires.
Si on nommoit AF, x, BO, b, AC, r, AB, c, on auroit ou ; la racine positive est AF, & la négative Af, parce que cette racine négative, si on la traitoit comme positive, donneroit , & non pas . Voilà un cas où deux racines de différens signes n’indiquent pas des positions diamétralement opposées dans les lignes AF, Af, qui représentent ces racines, mais seulement le changement de signe du second terme ax dans l’équation du problème.
Dans ce dernier cas, c’est-à-dire en prenant AF pour l’inconnue, l’équation n’est que du second degré, au lieu qu’en prenant BF pour inconnue, elle monte au quatrieme ; d’où l’on voit comment par le bon choix des inconnues on peut simplifier un problème en plusieurs occasions. Mais, dira-t-on, pourquoi le problème a-t-il quatre solutions dans un cas, & deux seulement dans un autre ? Je réponds que dans le dernier cas il a aussi quatre solutions comme dans le premier ; ou pour parler plus exactement, que BF a quatre valeurs dans les deux cas ; car , ce qui donne deux valeurs égales de différent signe pour chaque valeur de AF. Voyez encore d’autres observations sur un problème de ce genre à l’article Situation.
Autre question. On propose d’inscrire dans un rectangle donné ABDE (fig. 11. alg. n. 2.) un rectangle abde, dont les côtés soient également éloignés des côtés du grand, & qui soit à ce grand rectangle comme m est à n : soit AB=a, AD=b, AC=x, on aura , & on trouvera par la résolution de cette équation, qu’en supposant m < n, x a deux valeurs réelles & positives ; cependant le problème n’a évidemment qu’une solution, mais il renferme une condition que l’Algebre ne peut pas énoncer, savoir que le rectangle abde soit au-dedans de l’autre : si on avoit on trouveroit la même équation, & cependant ce ne seroit plus le même problème. Le parallélogramme rectangle qui satisferoit à cette question, seroit alors celui qu’on voit, fig. 11. n. 3. dans lequel AC est égal à la plus grande valeur positive de x, & AC=Ca ; le côté ad est éloigné de AD comme le côté ca de AB, & ainsi du reste ; mais le rectangle abcd n’est pas au-dedans de l’autre ; condition que l’Algebre ne peut exprimer. Voyez Situation.
Sur les équations différentielles, exponentielles, &c. voy. Différentiel, Exposant, Exponentiel, Intégral, Construction, &c.
On appelle quelquefois équation, en Géométrie & en Méchanique, ce qui n’est qu’une simple proportionnalité indiquée d’une maniere abrégée ; par exemple, quand on dit qu’un rectangle est égal au produit de sa base par sa hauteur, cela signifie explicitement : si on a deux rectangles, & qu’on prenne une quantité quelconque linéaire a pour la mesure commune de leur base & de leur hauteur ; que B soit le nombre de fois (entier ou rompu, rationnel ou irrationnel) que la base de l’un contient a ; que H soit le nombre de fois que la hauteur du même contient a ; que b soit le nombre de fois que la base de l’autre contient a ; que h soit le nombre de fois que la hauteur du même contient a, les aires de ces deux rectangles seront entr’elles comme le produit des nombres B, H, est au produit des nombres b, h. De même, quand on dit que la vîtesse d’un corps qui se meut uniformément, est égale à l’espace divisé par le tems, cela veut dire explicitement : si deux corps se meuvent uniformément, & parcourent, l’un l’espace E pendant le tems T, l’autre l’espace e pendant le tems t ; qu’on prenne une ligne a pour commune
