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dit ci-dessus, si on nomme φ la force centrifuge, & dt le tems employé à parcourir AE ou DE (fig. 24. Méchaniq.), on aura $\scriptstyle \phi ~:~p~::~{\frac {DE}{dt^{2}}}~:~{\frac {a}{\theta ^{2}}}$, en regardant le cercle comme rigoureux. Or dans cette hypothèse on a $\scriptstyle DE={\frac {AE^{2}}{AB}}$ par la propriété du cercle ; donc $\scriptstyle \phi ={\frac {AE^{2}\cdot \theta ^{2}}{adt^{2}\cdot AB}}$.

Dans le cercle polygone on a $\scriptstyle DE={\frac {2AE^{2}}{AB}}$ ; parce que regardant AD comme le prolongement d’un petit côté du cercle, on a DE : AE ∷ AE est au rayon $\scriptstyle {\frac {AB}{2}}$ ; & dans cette même hypothèse on a $\scriptstyle \phi ~:~p~::~{\frac {DE}{dt^{2}}}~:~{\frac {a}{\theta ^{2}}}$ ; donc on aura $\scriptstyle \phi ={\frac {p\cdot 2AE^{2}\cdot \theta ^{2}}{2adt^{2}\cdot AB}}={\frac {p\theta ^{2}\cdot AE^{2}}{adt\cdot AB}}$ ; équation qui est la même que la précédente. On voit donc qu’en s’y prenant bien, la valeur de la force centrifuge se trouve la même dans les deux cas.

Si on appelle u la vîtesse du corps, & si on suppose u égale à la vitesse que le corps auroit acquise en tombant de la hauteur h, en vertu de la pesanteur p, on aura uu = 2ph. Voyez Accélération, Pesanteur, & ce que nous avons dit ci-dessus à l’occasion de l’équation φde = udu. De plus on aura par la même raison $\scriptstyle {\sqrt {2pa}}$ pour la vîtesse que le corps acquerroit en tombant de la hauteur a pendant le tems θ ; & comme cette vîtesse feroit parcourir uniformément l’espace 2a pendant le même tems θ (voyez Accélération & Descente), on aura
$\scriptstyle AE~:~2a~::~udt~:~\theta {\sqrt {2pa}}~::~dt{\sqrt {2ph}}~:~\theta {\sqrt {2pa}}$ ; donc $\scriptstyle {\frac {AE}{dt}}={\frac {2a{\sqrt {h}}}{\theta {\sqrt {a}}}}={\frac {2{\sqrt {ah}}}{\theta }}$ ; donc $\scriptstyle {\frac {AE^{2}}{dt^{2}}}={\frac {4ah}{\theta ^{2}}}$ ; donc $\scriptstyle \phi ={\frac {p\theta ^{2}}{a\cdot AB}}\times {\frac {2ah}{\theta ^{2}}}={\frac {4ph}{AB}}$ ; & voilà la démonstration du théorème que nous avons donné d’après M. Huyghens au mot Central ; car on aura $\scriptstyle \phi ~:~p~::~2h~:~{\frac {AB}{2}}$. On peut voir les conséquences de ce théorème au même mot Central.

On lit dans certains ouvrages que la force centrifuge est égale au quarré de la vîtesse divisé par le rayon, & dans d’autres qu’elle est égale au quarré de la vîtesse divisé par le diametre : cette différence d’expressions ne doit point surprendre ; car le mot égale ne signifie ici que proportionnelle, comme on l’a expliqué dans l’article Equation ; cela signifie donc seulement que les forces centrifuges dans deux cercles différens sont comme les quarrés des vîtesses divisés par les rayons, ou ce qui est la même chose, par les diametres. Voyez le mot Equation à la fin.

Au reste la raison de cette différence apparente de valeur que les auteurs de Méchanique ont donnée à la force centrifuge, vient de ce qu’ayant pris la ligne DE pour représenter la force centrifuge, le tems dt étant constant, les uns ont considéré DE dans la courbe polygone, les autres dans la courbe rigoureuse. Dans le premier cas $\scriptstyle DE=AE^{2}$ divisé par le rayon ; & dans le second $\scriptstyle DE=AE^{2}$ divisé par le diametre. Or AE est ici comme la vîtesse, puisqu’on suppose dt constant ; donc au lieu de $\scriptstyle AE^{2}$, on peut mettre la quarré de la vîtesse. Donc, &c. Ces différentes observations contribueront beaucoup à éclaircir ce que les différens auteurs ont écrit sur les forces centrales & centrifuges.

Puisque 2ph = uu, & que $\scriptstyle {\frac {AB}{2}}$ est le rayon du cercle, il s’ensuit que si on fait ce rayon =r, on aura $\scriptstyle \phi ={\frac {uu}{r}}$, soit que u & r soient constans, ou non ; c’est-à-dire que l’équation $\scriptstyle \phi ={\frac {uu}{r}}$, ou $\scriptstyle \phi ={\frac {2ph}{r}}$, aura

lieu dans toute ; les courbes, u étant la vîtesse en un point quelconque, & r le rayon de la developpée. Remarquez que la force centrifuge φ est ici supposée dirigée par rapport au centre du cercle osculateur, qui est le point où le rayon osculateur touche la développée. Si on veut que la force, centrifuge ou centrale, soit dirigée vers un autre point quelconque, soit F cette nouvelle force, soit k le cosinus de l’angle que le rayon mené à ce point fait avec le rayon osculateur ; alors regardant la force φ comme composée de la force F, & d’une autre force dirigée suivant la courbe, on trouvera facilement par le principe de la décomposition des forces, F : φ ∷ 1 : k, en prenant 1 pour le sinus total ; donc

$\scriptstyle F={\frac {\phi }{k}}$ ; donc $\scriptstyle F={\frac {2ph}{rk}}$ : c’est la formule générale des forces centrales & centrifuges dans une courbe quelconque.

Qu’on nous permette à ce sujet une réflexion philosophique sur les progrès de l’esprit humain. Huyghens a découvert la loi des forces centrales dans le cercle ; le même géometre a découvert la théorie des développées. L’on vient de voir qu’en réunissant ces deux théories, on en tiroit par un corollaire très-facile la loi des forces centrales dans une courbe quelconque : cependant Huyghens n’a pas fait ce dernier pas qui paroît aujourd’hui si simple ; & cela est d’autant plus étonnant, que les deux pas qu’il avoit faits étoient beaucoup plus difficiles. Newton, en généralisant la théorie de Huyghens, a trouvé le théorème général des forces centrales qui l’a conduit au vrai système du monde ; comme il a trouvé le calcul différentiel, en ne faisant que généraliser la méthode de Barrow pour les tangentes ; méthode qui étoit, pour ainsi dire, infiniment proche du calcul différentiel. C’est ainsi que les corollaires les plus simples des vérités connues, qui ne consistent qu’à rapprocher ces vérités, échappent souvent à ceux qui sembleroient avoir le plus de facilité & de droit de les déduire ; & rien n’est plus propre que l’exemple dont on vient de faire mention, pour confirmer les réflexions que nous avons faites sur ce point au mot Découverte.

Dans la formule que nous avons donnée ci-dessus pour les forces centrales, nous faisons abstraction de la masse du corps ; & si on veut faire attention à cette masse, il est évident qu’il faudra multiplier l’expression de la force centrale par la masse du corps ; ou ce qui peut-être est encore plus simple, au lieu de regarder p comme la pesanteur, on regardera cette quantité comme le poids du corps, qui n’est autre chose que le produit de la pesanteur ou gravité par la masse. Nous faisons cette remarque, afin qu’on ne soit point embarrassé à la lecture de l’article Central, par la considération de la masse que nous avons fait entrer dans le calcul des forces dont il s’agit.

Ajoûtons que si on veut une autre expression de la force centrifuge φ, que celle que nous avons donnée. on peut se servir de celles-ci qui seront commodes en plusieurs cas.

On a trouvé $\scriptstyle \phi ={\frac {p\cdot AE^{2}\cdot \theta ^{2}}{adt^{2}\cdot AB}}$ ; or comme le cercle est supposé décrit uniformément, on peut, au lieu de $\scriptstyle {\frac {AE}{dt}}$, mettre un arc quelconque fini A divisé par le tems t employé à le parcourir ; donc on aura $\scriptstyle \phi ={\frac {p\cdot A^{2}\cdot \theta ^{2}}{a\cdot AB\cdot t^{2}}}$.

Si on fait $\scriptstyle t=\theta$, ce qui est permis, on aura $\scriptstyle \phi ={\frac {p\cdot A^{2}}{AB\cdot a^{2}}}$. De plus, si on nomme l la longueur d’un pendule qui fait une vibration dans le tems θ, & 2π le rapport de la circonference au rayon, on aura $\scriptstyle \pi ^{2}l=2a$. Voyez Pendule & Vibration. Doncφ