Enfin si le numérateur est plus petit que le dénominateur ; c’est une fraction pure sur laquelle la division n’a point de prise, & qui est elle-même son quotient.
est une fraction de la premiere espece ; une de la seconde ; une de la troisieme.
IV. Toute fraction, comme celle-ci , peut s’énoncer de deux manieres, ou 2 divisé par 3 (c’est-à-dire le tiers de deux) ou deux tiers. La premiere maniere est relative aux définitions ci-dessus. Suivant la seconde, on conçoit l’unité divisée en parties dont le dénominateur indique l’espece & le numérateur le nombre qu’il en faut prendre. Mais cette diversité dans la maniere d’énoncer n’influe en rien sur le fond ; soit qu’on divise 2 toises ou 12 piés par 3, c’est-à-dire qu’on en prenne le tiers, soit qu’on prenne les deux tiers d’une toise ou de 6 piés, le résultat est également 4 piés.
V. Pour procéder avec quelque ordre dans une matiere d’un détail assez épineux, nous traiterons d’abord des fractions prises singulierement, puis nous comparerons diverses fractions ensemble, enfin nous en donnerons le calcul.
VI. Des fractions prises singulierement. La valeur absolue d’une fraction est d’autant plus grande, que son numérateur est plus grand & son dénominateur plus petit ; & au contraire.
Pour en sentir la raison, il suffit de se rappeller que le numérateur est le dividende, le dénominateur le diviseur, & la valeur de la fraction le quotient. Voyez Division.
VII. Pour doubler, tripler, &c. la valeur d’une fraction, c’est donc la même chose de multiplier son numérateur, ou de diviser son dénominateur par 2, 3, &c… comme pour en prendre la moitié, le tiers, &c. c’est la même chose de diviser son numérateur ou de multiplier son dénominateur par 2, 3, &c.
VIII. Donc la valeur d’une fraction n’est point changée, soit qu’on multiplie, soit qu’on divise ses deux termes par la même grandeur n ; car l’effet de l’opération faite sur le numérateur sera détruit par l’opération subséquente sur le dénominateur. C’est en effet multiplier ou diviser la fraction par ; or 1 ne change point les grandeurs, soit qu’il divise, soit qu’il multiplie.
IX. Cela même fournit le moyen de réduire un entier a en fraction d’un dénominateur quelconque n, sans altérer sa valeur ; il n’y a qu’à le multiplier & le diviser par n.
Si l’on fait , on aura ; & c’est la maniere la plus simple de réduire un entier en fraction, lorsqu’on n’a pas d’ailleurs intérêt de lui donner un dénominateur déterminé.
X. On dit qu’une fraction est réduite à ses plus simples termes, quand les deux termes qui l’expriment sont premiers entr’eux. Voy. Premier & Nombre premier. S’ils ne le sont pas, on les réduit à l’être, en les divisant par leur plus grand diviseur commun. Ainsi se réduit à , en divisant le numérateur & le dénominateur par leur plus grand commun diviseur 6. Voyez Diviseur.
Il est clair (n°. VIII.) que par cette opération la valeur de la fraction n’est point changée.
XI. Pour trouver la valeur d’une fraction relativement à un entier d’une espece déterminée, voici la méthode. On suppose la fraction pure ; parce que, si originairement elle étoit mixte, on a dû préalablement en tirer l’entier par la voie ordinaire.
Le dénominateur de la fraction restant le diviseur constant, prenez successivement pour dividende, 1°. le numérateur réduit en aliquotes premieres de l’entier (voyez Aliquote) ; 2°. le reste, s’il y en a, réduit en aliquotes secondes de l’entier ; 3°. le second
reste réduit, &c. jusqu’à ce que la division soit exacte, ou que vous soyez parvenu à l’aliquote derniere. Ces divers quotiens seront, dans l’ordre qu’ils ont été trouvés, des aliquotes premieres, secondes, troisiemes, &c. de l’entier. Si le dernier quotient laisse un reste, vous l’écrirez en fraction à l’ordinaire. Ainsi cette fraction , s’il s’agit d’étendue, & que l’entier soit une toise, est 3 piés 7 pouces lignes ; car , & il reste 3 : , & il reste 1 : .
La même fraction , s’il s’agit de monnoie, & que l’entier soit une livre, est 12 s.
Cete même fraction , s’il s’agit de tems, & que l’entier soit une heure, est 36′.
XII. De la comparaison des fractions. Le but qu’on se propose, en comparant ensemble diverses fractions, est de découvrir le rapport qu’elles ont entr’elles. Ce rapport est sensible, dès que les fractions ont le même dénominateur ; car, , puisque le produit des extrèmes est égal au produit des moyens (V. Proportion), c’est à-dire qu’alors les fractions sont entr’elles comme leurs numérateurs.
Il ne s’agit donc que de donner aux fractions proposées un dénominateur commun, lorsqu’elles ne l’ont pas. Or pour cela, quel que puisse être le nombre des fractions, voici une regle simple & unique.
Multipliez les deux termes de chaque fraction par le produit continu des dénominateurs des autres fractions ; il est clair (n°. VIII.) que par cette opération la valeur de chaque fraction primitive n’est point changée ; & il n’est pas moins évident qu’il en résulte pour toutes les fractions réduites le même dénominateur, puisqu’il est pour chacune le produit des mêmes facteurs.
Premieres fractions…
Secondes fractions… , ou plus simplement .
(+) Si les dénominateurs des fractions ont un diviseur commun, on peut simplifier l’opération en cette sorte : Soit & qu’il faut réduire à même dénomination, les dénominateurs & ayant pour diviseur commun g, je multiplie le haut & le bas de la premiere par k seulement, & le haut & le bas de la seconde par e seulement, & j’ai & .
(+) Ainsi, si j’avois à réduire & à même dénomination, je prendrois d’abord le plus grand commun diviseur 8 de 16 & de 24 (voyez Diviseur) ; ensuite j’écrirois , & ; ensuite je multiplierois le haut & le bas de la premiere fraction par 3, & le haut & le bas de la seconde par 2, & j’aurois , & ; & ainsi des autres.
Du calcul des fractions. Ce qui a été dit (n°. IX.) nous met en droit de supposer que les quantités sur lesquelles il sera question d’opérer, ne contiennent que des fractions.
XIII. Addition. Les fractions proposées étant préalablement réduites à la même dénomination, faites la somme des numérateurs, & écrivez au-dessous le dénominateur commun.
XIV. Soustraction. Après avoir réduit séparément les deux quantités proposées en une seule fraction, donnez aux deux fractions résultantes un dénomina-
