face de la sphère. Déplaçons-le avec le doigt sur la surface sphérique dans une direction quelconque ; nous n’arriverons jamais dans cette pérégrination à une borne. Nous disons en conséquence que la surface sphérique est un continu illimité. La surface sphérique est en outre un continu fini. En effet, si l’on colle de tels petits disques de papier sur la sphère de telle sorte que jamais deux petits disques ne sont collés l’un sur l’autre, la surface de la sphère sera à la fin si bien remplie qu’aucun nouveau petit disque ne pourrait plus y être appliqué ; cela signifie précisément que la surface de la sphère est finie par rapport aux petits disques de papier. La surface de la sphère est de plus un continu non-euclidien à deux dimensions, c’est-à-dire que les lois de position des formes rigides qui se trouvent sur elle ne concordent pas avec celles du plan euclidien. On peut le constater de la manière suivante. Qu’on place autour d’un petit disque circulaire six petits disques circulaires de façon qu’ils lui soient contigus, autour de chacun de ceux-ci six autres, etc. (fig. I). Si l’on fait cette construction
sur le plan, il se forme une couche ininterrompue, où à chaque petit disque, qui ne se trouve pas sur le bord, sont contigus six petits disques. Sur la surface de la sphère cette construction semble au début réussir également, et cela d’autant mieux que le rayon du petit disque est plus réduit par rapport à celui de la sphère. Mais à mesure qu’on avance dans la construction, il devient de plus en plus manifeste qu’il n’est pas possible d’obtenir une couche ininterrompue de petits disques dans le sens indiqué, comme ce devrait être le cas d’après la géométrie euclidienne du plan. De cette façon, des êtres même qui ne quittent jamais la surface de la sphère, et qui ne peuvent non
