ment opposé à S, se trouve un point lumineux qui projette sur le plan E l’ombre L′ du petit disque L. À chaque point de la sphère correspond sur le plan une ombre de L. Si le petit disque se meut sur la sphère K, l’ombre L′ se meut de même sur le plan E. Si le petit disque L se trouve au point S, il se confond presque avec une ombre. S’il se meut à partir de S sur la surface sphérique vers le haut, l’ombre L′ du petit disque glisse sur le plan E de S vers le dehors en restant sur le plan et devient de plus en plus grande. Si le petit disque L se rapproche du point lumineux N, l’ombre s’éloigne à l’infini et devient de plus en plus grande.
Nous demandons maintenant : Quelles sont les lois de position des ombres des petits disques L′ sur le plan E ? Eh bien, exactement les mêmes que les lois de position des petits disques L sur la surface de la sphère. Car à chaque figure originale sur K correspond une figure d’ombre sur E. Si deux petits disques se touchent sur K, leurs ombres se touchent de même sur E. La géométrie des ombres sur le plan concorde avec la géométrie des petits disques sur la sphère. Si nous considérons les ombres des petits disques comme des figures rigides, la géométrie sphérique est valable par rapport à celles-ci sur le plan E. Il faut noter particulièrement que le plan est fini par rapport aux ombres des petits disques, étant donné que les ombres ne peuvent trouver place sur le plan qu’en nombre fini.
Mais on pourrait nous dire : « Cela est absurde ; les ombres des petits disques ne sont précisément pas des figures rigides. Il nous suffirait de déplacer une règle sur le plan E pour nous convaincre que les ombres deviennent de plus en plus grandes, lorsqu’elles glissent sur le plan de S vers l’infini. » Mais qu’arriverait-il si les règles sur le plan E se comportaient de la même façon que les ombres des petits disques L′ ? Alors on ne pourrait plus constater que les ombres croissent en s’éloignant de S ; cette affirmation n’aurait plus aucun sens. La seule chose qu’on puisse énoncer objectivement
