mencèrent à découvrir leurs propriétés. On eut bientôt l’occasion de les appliquer à deux problêmes célèbres dans l’antiquité.
L’un de ces problêmes avoit pour objet la duplication du cube, ou la manière de faire un cube double d’un autre. C’étoit une ancienne tradition dans la Grèce, que les Athéniens ayant irrité Apollon, il avoit envoyé la peste dans leur pays, & que l’Oracle du temple de Délos, consulté sur les moyens de faire cesser ce fléau, avoit répondu : doublez l’autel d’Apollon. L’oracle désignoit ainsi un petit autel d’or, de forme cubique, qu’Apollon avoit dans Athènes & dont sans doute il n’étoit pas content. Le problême est aussitôt proposé à tous les Géomètres de la Grèce. Au tems de Platon, il fut agité avec la plus grande chaleur. On chercha pendant long-tems à le résoudre, sans employer d’autres instrumens que la règle & le compas : car les opérations exécutées de cette manière étoient les seules que l’on regardât alors comme géométriques ; mais ce moyen ne réussit point & ne pouvoit réussir. En examinant la question sous toutes les faces, les Géomètres reconnurent que si l’on pouvoit trouver deux moyennes proportionnelles entre le côté du cube donné & le double de ce côté, la première de ces deux lignes seroit le côté du cube cherché. Dès-lors ils dirigèrent leurs méditations vers ce but. Platon détermina les deux moyennes proportionnelles, à la faveur d’un instrument particulier de son invention ; mais cette méthode supposoit la description d’une courbe du troisième ordre, & n’avoit pas ce caractère de simplicité, si précieux en géométrie, sur-tout chez les anciens. D’autres Géomètres proposèrent d’autres moyens sujets à de semblables inconvénients. Enfin, Mnechme trouva que les deux moyennes proportionnelles pouvoient être considérées comme les ordonnées de deux sections coniques, qui étant construites suivant les conditions du problème, se coupoient en deux points propres à le résoudre. La question ainsi réduite, donna la naissance à la célèbre théorie des lieux géométriques, dont les anciens & les modernes ont fait tant d’applications. Il ne s’agissoit plus, pour la mettre en pratique, que d’imaginer des instrumens simples & commodes pour tracer les sections coniques, ce qui n’a jamais été difficile. La solution de Mnechme fut bientôt simplifiée : on s’apperçut qu’au lieu d’employer deux sections coniques, on pouvoit se contenter de combiner un cercle avec une seule section conique. Les Géomètres proposèrent encore successivement plusieurs autres courbes pour le même objet : telles que la conchoïde de Nicomède, la cissoïde de Dioclès, &c.
L’autre problême, que nous avons indiqué consistoit à diviser un angle en trois parties égales. Après avoir appris de la géométrie
