donne 35, dont la somme des chiffres est 8 ; c’est le reste de la division par 9. On peut aussi supprimer les 9 qu’on trouve à chaque somme partielle que donne le chiffre ajouté. Cette règle peut être démontrée directement avec la plus grande facilité ; car 10 et toutes ses puissances donnent 1 pour reste de la division par 9.
Pour compléter cette théorie, nous ajouterons que :
1o Le dernier chiffre à droite (celui des unités) est toujours le reste de la division par 2 ou par 5, puisque toutes les puissances de 10 sont divisibles par ces nombres.
2o Il n’y a que les nombres pairs qui soient divisibles par 2, et que les nombres dont les unités sont 0 ou 5, qui le soient par 5.
3o Comme 102 et les puissances supérieures sont multiples de 4, un nombre n’est divisible par 4 qu’autant que le nombre exprimé par les deux chiffres à droite est multiple de 4. De même, pour le diviseur 8, il faut que les trois chiffres à droite forment un multiple de 8, etc.
La théorie que nous venons d’exposer est aussi générale que le permet l’état actuel de la science ; chaque diviseur premier donnera certainement des facteurs formant une période ; mais comme le nombre des chiffres de la période peut aller jusqu’au nombre d’unités du diviseur moins un, plus ce diviseur s’élève, et plus la règle peut se compliquer. Cependant cette règle, pour être applicable, doit être plus facile à observer que ne le serait le calcul de la division même ; ce qui ne permet guère de l’employer pour des nombres premiers plus élevés que ceux que nous avons considérés successivement.
Et quant à la divisibilité par les nombres qui ne sont pas premiers, elle se réduit à diviser partout les facteurs premiers qui les composent. Ainsi on décomposera le diviseur proposé N en ses facteurs premiers, sous la forme N = aa, bb, c…, et pour que ce nombre soit exactement divisible par N, il faudra qu’il le soit aussi séparément par tous les facteurs aa, bb, c… C’est ainsi qu’un nombre n’est divisible par 21 qu’autant qu’il l’est aussi séparément par 3 et par 7.
DIVISION. (Logique) Partage d’un tout en ce qu’il contient ; ou, selon la définition commune, distribution d’un tout en ses parties. Rien de plus nécessaire et de plus habituel à l’esprit que ce procédé : chacun de nous l’emploie instinctivement, et dès le plus jeune âge, toutes les fois qu’il veut mettre de la clarté dans ses idées, de l’ordre dans ses affaires, de la précision dans ses discours ; se faciliter l’étude des détails d’une science ou d’une question ; et non-seulement connaître ou éclaircir un sujet, non-seulement entendre ces choses, mais les retenir : car, ou l’esprit n’aborde point, ou bien il oublie aussitôt ce qui est confus. C’est assez dire que la division constitue en quelque sorte la partie extérieure de la méthode, tant elle lui est essentielle, et d’une nécessité continuelle : auxiliaire, instrument, ou préambule obligé de la classification et de la définition, elle se confond, à de légères nuances près, avec l’analyse, dont elle semble le mode d’application et la forme même. Prendre un tout et en séparer les éléments ; prendre un terme général ou commun et en dégager les termes particuliers qu’il comprend : voilà la division.
Toute division, pour être bonne, doit remplir les conditions suivantes : 1o Être complète ou adéquate, c’est-à-dire embrasser ni plus ni moins toutes les parties du sujet, de sorte que les membres de la division égalent par leur réunion le tout divisé ; autrement ce serait donner pour tout ce qui ne l’est pas. 2o Distincte ou irréductible, de telle sorte que les membres ne rentrent pas les uns dans les autres, mais s’excluent plutôt mutuellement : sans quoi, ce serait non pas diviser, mais confondre les choses, et donner pour une partie ce qui ne l’est pas. 3o Immédiate, c’est-à-dire porter d’abord et uniquement sur les parties primordiales ou saillantes du sujet, et n’arriver aux parties secondaires que par des subdivisions ultérieures. Par exemple, si l’on a à diviser les êtres organisés, on n’ira pas d’abord les distribuer en plante, en homme et en brute, mais en plante et en animal ; et ce n’est qu’en subdivisant qu’on partagera le genre animal en homme et en brute. 4o Enfin la division doit être bornée : il faut éviter les divisions et subdivisions trop multipliées ; elles ne peuvent que surcharger la mémoire et confondre l’intelligence. Descendre à ce degré, ce fut la manie des scolastiques ; ce n’est plus user, mais abuser ; et c’est tomber dans l’inconvénient qu’on se proposait d’éluder, l’obscurité ; c’est manquer l’avantage qu’on recherchait, celui de soulager l’esprit. C. P.
DIVISION. (Arithmétique.) Lorsque l’on connaît un produit et l’un de ses facteurs, et qu’on demande quel est l’autre facteur, l’opération qui enseigne à l’obtenir s’appelle division. On nomme le produit dividende, le facteur connu diviseur, et le facteur cherché quotient. Cette opération se présente aussi sous deux autres acceptions : 1o une fraction, telle que , indique que l’unité est divisée en 4 parties égales, et qu’on prend 3 de ces parties : il est visible que c’est comme si l’on coupait 3 unités en 4 ; 2o lorsqu’on veut partager un nombre en portions égales, par exemple, 12 en 3, chaque part est le quotient de la division de 12 par 4. Ainsi le reste d’une division, quand on en extrait tous les entiers du
