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οὖν κύκλου τοῦ ΑΒΕ ἐφαπτεταί τις εὐθεῖα ἡ ΑΔ7, καὶ ἀπὸ τῆς κατὰ τὸ Α ἀφῆς εἰςϑὺ το ABE κύκλον διῆκταί τις εὐθεῖα ἡ ΑΒ’ ἡ ἀρὰ ὑπῦ ΔΑΒ γωνία ἴση ἐστὶ τῇ ἐν τῷ ἐναλλὰξ κύκλουθ τμήματι γωνίᾳ τή ὑπὸ ΔΕΒ, Αλλ ἡ υὑπὸ ΔΑΒ τῇ πρὸς τῷ Γ ἐστὶν ἰσηὴΎ καὶ ἡ πρὸς Τώ Γὶ ἀρὰ γωνία ἴση ἐστὶ τῇ ὑπὸ ΑΕΒ. Επὶ τῆς δοθείσης ἄρα εὐθείας τῆς ΑΒ τμῆμα κὐύκλου γέγραπται τὸ ΑΕΒ, δεχόμενον γωνίαν τὴν ὑπὸ ΑΕΒ ἴσην τῆ, δοθείσῃ τῇ πρὸς τῷ Γ. |
contactu ad A in ABE circulum ducta est aliqua AB, , angulus utique ΔAB æqualis est angulo AEB in alterno circuli segmento. Sed AAB ipsi ad Γ est æqualis ; et ad Γ igitur angulus æqualis est ipsi AEB. Super datà igitur rectá AB seg- mentum circuli descriptum est AEB, capiens angulum AEB æqualem dato ad Γ. |
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Αλλὰ δι ὀρθὴ ἐστω ἡ πρὸς τῷ Γ καὶ δεὸον ἐστω πάλιν10 ἐπὶ τῆς ΑΒ γράψαι τμῆμα κύκλου δε. χύμενον γων [ὰν ἰσῶν τὴ πορὸς τῷ Γ΄ʼ Οορὕῃμ γωνίᾷᾳ Συνεστάτω γὰρ πάλιν τῇ πρὸς τῷ Γ Οορθ γωνία ἴση ἡ ὑπὸ ΒΑΔ, ὡς ἔχει ἐπὶ τῆς δευτέερὰΑς κατα- γραφῆς, καὶ τετμήσθω ἡ ΑΒ ὄζχα κατὰ τὸ Ζ, καὶ κέντρῳ μὲν τῷ Ζ, διαστέματι δὲ οποτέρῳ τῶν ΖΑ, ΖΒ, κύκλος γεγρσφθω ὁ ΑΕΒ. Ἐφαπτεέται ἄρα ἡ ΑΔ εὐθεῖω τοῦ ΑΒῈ κύκλου ὡ διὰ τὸ ορθὲν εἰναι τήν πρὸς τῷ Α γωνίαν. Κα ; ἐσὰ ἐστῬν ἡ μὲν ὑπὸ ΒΑΔ γωνία τή ἐν τῷ ΑΕΒ τμηματι12 ὀρθὴ γαρ καὶ αὐτή ἐεν ἡμικυκλίῳ οὔσα. Αλλὰ καιὶ ἡ ὑπὸ ΒΑΔ τῇ πρὸς τῷ Γ ἴση ἐστ. 135, Καὶ ἡ ἐν |
Sed et rectus sit ipse ad Γ ; et oporteat rur- eus super AB describere segmentum circuli, capiens angulum æqualem ipsi ad Γ recto an- gulo. Constituatur enim rursus ipsi ad Γ recto angulus æqualis BAB, ut se habet in secundá figurá, et secetur AB bifariam in Z, et cen- tro quidem Z, intervallo vero alterutrá ipsa- rum AZ, ZB, circulus describatur AEB ; con- tingit igitur AΔ recta ABE circulum, propterea quod rectus est ad A angulus. Et æqualis est quidem BAbM angulus ipsi in AEB segmento, rectus enim et ipse est in semicirculo con- sistens. Sed BAÁ » ipsi az r æ5qualis est ; et ipse |
et que du point de contact en A on a mené une droite AB dans la cercle ABE, lʼangle ΔA7 est égal à l’angle ΑΕΒ placé dans le segment alterne du cercle (32. 3) Mais l’angle ΔAB est égal à l’angle Γ; donc l’angle Γ est égal à l’angle ΑΕΒ. Donc sur la droite donnée ΑΒ, on a décrit un segment de cercle AEB qui reçoit un angle ΑΕΒ égal à l’ange donné Γ.
Mais que l’angle Γ soit droit, et qu’il faille encore décrire sur la droite AB un segment de cercle qui reçoive un angle égal à l’angle droit Γ. Construisons un angle BAΔ égal à l’angle droit Γ (23. 1) , comme dans la seconde figure ; coupons AB en deux parties égales en Z (10. 1) ; du centre Z, et d’un intervalle égal à l’une ou à l’autre des droites ZA, ZB, décrivons le cercle ΑEB. La droite AΔ sera tangente au cercle ΑΒΕ (16. 3) , parce que l’angle est droit en Α. Mais l’angle BAΔ est égal à l’angle qui est placé dans le segment ΑEB, car cet angle est droit, puisqu’il est placé dans un demi-cercle (31. 3) . Mais l’angle BAA est égal à l’angle Γ ; donc l’angle placé dans le segment est égal à l’angle Γ,
