LE CINQUIÈME LIVRE DES ÉLÉMENTS DʼEUCLIDE
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δ΄. Αναλογία δὲ, ἡ τῶν λόγων ταυτότης. |
4. Proportio autem, rationum identitas, |
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ἐ, Λόγον ἔχειν πρὸς ἄλληλα μεγέθη λέγεται. ἃ δύναται πολλαπλασιαζόμενα ἀλλήλων ὑπερ-- ἔχειν. |
5. Rationem habere inter se magnitudine ; dicuntur, qux possunt multplicate sese superare. |
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ς΄. Ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ μεγέθη λέγεται εἶναι. πρῶτον πρὸς δεύτερον καὶ τρίτον πρὸς τέταρ- τον, ταν τὰ τοῦ πρώτου καὶ τρίτου ἰσάκις πολλαπλάσια, τῶν τοῦ δευτέρου καὶ τετάρτου Ἰσάκις πολλαπλασίων, καθ᾿ ὁποιονοῦν πολλαπλα- σιασμον, ἑκατέρον ἑκατέρου ἢ ἅμα ὑπερ΄χῃ; ἢ ἅμα ἴσα ἧ, ἢ ἅμα ἐλλείπῃ ληφθέντα κατάλληλα, |
6. In eádem ratione magnitudines dicunt esse, prima ad secundam et tertia ad quartam, quando prime et tertie sque multiplices, secunde et quarte sque mulüplices, juxia quamvis mulüplica&onem, utraque utramque vel una superant, vel una equales sunt, vel una deficiunt comparato inter se. |
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ζ΄. τὰ δὲ τὸν αὐτὸν ἔχοντα λόγον μεγέθη, ἀνάλογον καλείσθω. |
7. Ipsæ autem eamdem rationem habente ; magnitudines proportionales vocentur. |
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ηʹ. Οταν δὲ τῶν ἰσάκις πολλαπλασίων, πὸ μὲν τοῦ πρώτου πολλαπλάσιον ὑπερέχῃ τοῦ τοῦ δευτέρου πολλαπλασίου, τὸ δὲ τοῦ τρίτου πολ- λαπλάσιον μὴ ὑπερέχῃ τοῦ τοῦ τετάρτου πολ- λαπλασίου" τό τε τὸ πρῶτον πρὸς τὸ δεύτερον μείζονα λόγον ἔχειν λεγέται, ἤπερ τὸ τρίτον προς το τέταρτον. |
8. Quando vero « que multiplicium, prime quidem multiplex superat secunde multiplicem, tertie vero multiplex non superat quarte multiplicem, tunc prima ad secundam majo rem rationem habere dicitur, quam tertia ad quartam. |
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θ΄. Αναλογία δὲ ἰν τρισὴν ὅροις ἐλαχίστηδ ἐστίν. |
9. Proportio autem in tribus terminis minima |
- Une proportion est une identité de raisons.
- Des grandeurs sont dites avoir une raison entr’elles, lorsque ces grandeurs, étant multipliées, peuvent se surpasser mutuellement.
- Des grandeurs sont dites être en même raison, la première à la seconde, et la troisième à la quatrième, lorsque des équimultiples quelconques de la première et de la troisième, et d’autres équimultiples quelconques de la seconde et de la quatrième sont tels, que les premiers équimultiples surpassent, chacun à chacun, les seconds équimultiples, ou leur sont égaux à la fois, ou plus petits à la fois.
- Les grandeurs qui ont la méme raison sont dites proportionelles.
- Lorsque, parmi ces équimultiples, un multiple de la première surpasse un multiple de la seconde, et qu’un multiple de la troisième ne surpasse pas un multiple de la quatrième, on dit alors que la première a avec la seconde une plus grande raison que la troisième avec la quatrième.
- Une proportion a au moins trois termes.
