398 LE SEPTIÈME LIVRE DES ÉLÉMENTS D’EUCLIDE,
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τῷ ΑΒ μἕρπ τοῦ Τ, τοσαῦτά ἐστι καὶ ἐν τῷ ΔῈ μέρη τοῦ Ζ. Διηρήσθω ὁ μὲν ΑΒ εἰς τά τοῦ Τ μέρη τὰ ΑΉ, ΗΒ ; ὁ δὲ ΔῈ εἰς τὰ τοῦ Ζ μέρη τὰ ΔΘ, ΘΕ. |
sunt in AB partes ipsius Iʼ, tot sunt et in AE partes ipsius Z. Dividatur AB quidem in Ipsius TU partes AH, HB, ipse vero AE in ipsiusZ par, tes ΔΘ, ΘΕ. |
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Ἑσται δὴ ἴσον τὸ πλῆθος τῶν ΑΗ͂. ΗΒ τῷ πλῆθει τῶν ΔΘ, ΘΕ, Καὶ ἐπεὶ ὃ μέρος ἐστὶν ὁ ΑΗ τοῦ Γ, τὸ αὐτὸ μξρος ἐστὶ καὶ ὃὁ ΔΘ τοῦ Ζ" ὃ ἄρα μέρος ἐστὶν ὃ ΔῊ τοῦ Τ΄ τὸ αὐτὸ" μέρος ἐστὶ καὶ συνγαμφότερος ὃ ΔῊἩ, ΔΘ συναμφοτέρου τοῦ Γ, Ζ. Διὰ τὰὼ αὐτὰ δὴ καὶ ὃ μέρος ἐστὶν ὁ ἨΒ τοῦ Τ, καὶ ὁ ΘῈ τοῦ Ζ" ὃ ἀρα μέρος ἐστὶ τὸ ΗΒ τοῦ Τή καὶ συναμφο’τερος ὃ ΗΒ. - ΘΕ συν- αμφοτέρου τοῦ Τ. 2 ἃ ἄρα μέρη ἐστὶν ὃ ΑΒ ποῦ Τ. τὰ αὐτὰ μέρη ἐστὶ καὶ συναμφότερος ὁ ΑΒ. ΔῈ συναμφοτέρου τοῦ Γ, Ζ. Οπερ ἔδει δεῖξαι. |
Erit utique zequalis mulütudo ipsorum AB, HB multitudini ipsorum A6, OE. Et quoniam qua pars est AH ipsius Iʼ, cadem pars est e AO ipsius Z ; quz igitur pars est AH ipsius T, eadem pars est et uterque simul AH, A9 utrius. que simul Tʼ, Z. Propter eadem utique et que. pars est HB ipsius Iʼ, et ipse OE ipsius Z ; ipse igitur pars est HB ipsius lʼ et uterque simul HB, 0E utriusque simul I, Z ; qua igitur partes est A3 ipsius I, ezedem partes est et uterque simul A3, AE utriusque simul Iʼ ; Z. Quod oportebat os. tendere. |
Puisque AB est les mêmes parties de r que AE l’est de z, il y a dans 4 autant de parties de r, quʼil y a dans AE de parties de z. Partageons AB en parties de T, et que ces parties soient AH, HB ; partageons aussi AE en parties de Z, et que ces parties soient ΔΘ, ΘΕ.
Le nombre des parties AH, HB sera égal au nombre des parties A@, @E, Et puisque AH est la même partie de Tr, que A0 l’est de Z, AK est la mème partie de Tr, que la somme de AH et de 40 l’est de la somme de r et de z (5. 7) . Par la même raison, HB est la même partie de Tr, que @ l’est de z ; donc HE est la même partie de Tr, que la somme de HB et de @E l’est de la somme der et de Z ; donc la somme de AB et de AE est les mêmes parties de la somme de r et de Z, que 48 l’est de r. Ce qu’il fallait démontrer.
