LE SEPTIÈME LIVRE DES ÉLÉMENTS DʼEUCLIDE. 423
| ΠΡΟΤΑΣΙΣ κβ΄ | PROPOSITIO XXII. |
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Ἐὰν ὡσι τρείς αρηῦμο ! » καὶ αλλοι αὐτοιῖς Ισο ! τὸ πλῆθος σύνδυο λαμξανόμενοι καὶ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ. ἢ δὲ τεταραγμένη αὐτῶν ἢ ἀαναλογία" καὶ διίσου ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ Ἐσονται. |
Si sunt tres numeri, et alii ipsis æquales multitudine bini sumpti et in eádem ratione, Sit autem perturbata eorum proportio ; ct ex æquo in eádem ratione erunt. |
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Ἑστωσαν τρεῖς ἀριθμοὶ, οἱ Α, Β, Γ, καὶ ἄλλοι αὐτοῖς ἴσοι τὸ πλῆθως οἱ Δ. Ε, Ζ, συνδυο λαμβξβανομένοι καὶ ἐν τῷ αὐυτῷ Λογῷ“, ἐστῶ δὲ τεταραγμένη αὐτῶν ἡ ἀναλογία 5 ὡς μέν ὁ Α πρὸς τὸν B οὕτὼως ὁ E πρὸς Τὸν Z, ὡς δὲ ὀ B πρὄς τὸν Γ οὕτως ὁ Δ πρὄς τὸν E, λεγω οτι και διίσου ἐστὶν ὡς ὁ Α προς τὸν Γ ουτος ὁ Δ πρὸς τὸν Z. |
Sint tres numeri A, B, Tʼ, et alii A4, E, Z, ipsis equales multitudine bini sumpti et in eádem ratione, sit autem perturbata eorum proporlio, utAquidemadBiiaEadZ, utBveroadT ita A ad E ; dico et ex æquo esse ut A ad Tʼ ita A ad Z. |
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Ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β ουτος ὁ Ἑ πρὸς τὸν Z ὁ ἄρα ἐκ τῶν A, Z, ἴσος ἐστὶ τῷ ἐκ τῶν B, E. Πάλιν, ἐπεὶ ἐστιν ὡς ὁ B πρὸς τὸν Γ ουτως ὁ Δ πρὸς τὸν E ὁ ἅρα ἐκ τῶν Γ, Δ ἴσος |
Quoniam enim est ut A ad B ita E ad Z ; ipse igitur ex A, Z equalis est ipsi ex B, E. Rursus, quoniamutBadTitaAadE ; ipse igitur ex P, A aequalis est ipsi ex B, E. Os |
PROPOSITION XXII.
Si l’on a trois nombres et autant d’autres nombres, si ces nombres pris deux à deux sont en même raison, et si leur proportion est troublée, ces nombres seront en même raison par égalité.
Soient A, B, T trois nombres, et autant d’autres nombres A, E, Z ; que ces nombres pris deux à deux soient en même raison, et que leur proportion soit troublée ; c’est-à-dire que A soit à B comme E està Z, et que B soit à Tr comme AeslàaE ; Je dis que par égalité A est à Tr comme A est à Z.
Car puisque A est à B comme E est à Z, le produit des nombres 4, 7 est égal au produit des nombres B, E (19. 7) . De plus, puisque B est à r comme A est à E ; le produit des nombres r, A est égal au produit des nombres B, E. Mais
