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Or, nous connaissons $\scriptstyle x^{\prime }y^{\prime }z^{\prime }$ puisque nous connaissons la loi du mouvement de ${\rm {S^{\prime }}}$ par rapport à ${\rm {S}}$. Cette loi s’exprime par les relations suivantes

${\begin{array}{ll}\,&x^{\prime }=x-vt,\\\,&y^{\prime }=y,\\\,&z^{\prime }=z,\end{array}}$

d’où nous tirons par double dérivation

${\frac {d^{2}x^{\prime }}{dt^{2}}}={\frac {d^{2}x}{dt^{2}}},\qquad {\frac {d^{2}y^{\prime }}{dt^{2}}}={\frac {d^{2}y}{dt^{2}}},\qquad {\frac {d^{2}z^{\prime }}{dt^{2}}}={\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}.$

Les équations écrites par les mécaniciens de ${\rm {S^{\prime }}}$ seront par conséquent les mêmes que celles qui seront écrites par les mécaniciens de ${\rm {S}}$. Pour des observateurs passant de ${\rm {S}}$ à ${\rm {S^{\prime }}}$ ou inversement, un même phénomène mécanique gardera donc une expression invariante. Un mécanicien observant un gyroscope dans un train lancé en mouvement uniforme notera les chiffres mêmes qu’il eut notés en observant le même gyroscope dans son laboratoire. En examinant la question sous un autre aspect il en déduira que l’observation du gyroscope ne peut pas lui fournir le moyen de savoir s’il est emporté par un mouvement uniforme ou s’il est au repos.

Le principe de la relativité des mécaniciens peut donc s’énoncer sous les formes suivantes :

Les phénomènes mécaniques dans un système