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THÉORIE DE LA CHALEUR.

D’un autre côté cette même tranche dont la surface extérieure est $l\,dx$ et dont la température diffère infiniment peu de $v,$ laisse échapper dans l’air pendant l’instant $dt$ une quantité de chaleur équivalente à $hlv\,dx\,dt\,;$ il suit de là que cette partie infiniment petite du solide conserve en effet une quantité de chaleur représentée par

$\mathrm {KS} {\frac {d^{2}v}{dx^{2}}}\,dx\,dt-hlv\,dx\,dt$

et qui fait varier sa température. Il faut examiner quelle est la quantité de ce changement.

105.

Le coëfficient $\mathrm {C}$ exprime ce qu’il faut de chaleur pour élever l’unité de poids de la substance dont il s’agit depuis la température 0 jusqu’à la température 1 ; par conséquent, en multipliant le volume $s\,dx$ de la tranche infiniment petite par la densité $\mathrm {D} ,$ pour connaître son poids, et par la capacité spécifique de chaleur $\mathrm {C} ,$ on aura $\mathrm {CD} s\,dx,$ pour la quantité de chaleur qui élèverait le volume de la tranche depuis la température 0 jusqu’à la température 1. Donc l’accroissement de la température qui résulte de l’addition d’une quantité de chaleur égale à $\mathrm {KS} {\tfrac {d^{2}v}{dx^{2}}}dx\,dt-hlv\,dx\,dt$ se trouvera en divisant cette dernière quantité par $\mathrm {CD} s\,dx.$ Donc en désignant selon l’usage par ${\tfrac {dx}{dt}}dt$ l’accroissement de température qui a lieu pendant l’instant $dt,$ on aura l’équation $\quad {\frac {dv}{dt}}={\frac {\mathrm {K} }{\mathrm {CD} }}{\frac {d^{2}v}{dx^{2}}}-{\frac {hl}{\mathrm {CDS} }}v.\quad ({\boldsymbol {b}}.)$

Nous expliquerons par la suite l’usage que l’on doit faire de cette équation pour en déduire une solution complette, et c’est en cela que consiste la difficulté de la question ; nous