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CHAPITRE II.

contient $x$ et $t,$ à devenir nulle, lorsqu’on donne à $x$ sa valeur totale $\mathrm {X}$ égale au rayon de la sphère, quelle que soit d’ailleurs la valeur de $t.$ On aurait donc dans cette hypothèse, en désignant par $\varphi (x,t)$ la fonction de $x$ et $t,$ qui doit donner la valeur de $v,$ les deux équations

${\frac {dv}{dt}}={\frac {\mathrm {K} }{\mathrm {C.D} }}\left({\frac {d^{2}v}{dx^{2}}}+{\frac {2}{x}}.{\frac {dv}{dx}}\right)\quad \mathrm {et} \quad \varphi (\mathrm {X} ,t)=0$

de plus il faut que l’état initial soit représenté par cette même fonction $\varphi (x,t)\,;$ on aura donc pour seconde condition $\varphi (x,0)=1.$ Ainsi l’état variable d’une sphère solide dans la première hypothèse que nous avons décrite, sera représenté par une fonction $v,$ qui doit satisfaire aux trois équations précédentes. La première est générale, et convient à chaque instant à tous les points de la masse ; la seconde affecte les seules molécules de la surface, et la troisième n’appartient qu’à l’état initial.

115.

Si le solide se refroidit dans l’air, la seconde équation est différente ; il faut alors concevoir que l’enveloppe extrêmement mince, est retenue par une cause extérieure, dans un état propre à faire sortir à chaque instant de la sphère, une quantité de chaleur égale à celle que la présence du milieu peut lui enlever.

Or la quantité de chaleur qui, pendant la durée d’un instant infiniment petit $dt,$ s’écoule dans l’intérieur du solide, à travers la surface sphérique placée à la distance $x,$ est égale à $-4\mathrm {K} \pi x^{2}{\tfrac {dv}{dx}}dt\,;$ et cette expression générale est applicable à toutes les valeurs de $x.$ Ainsi, en y supposant $x=\mathrm {X} ,$ on connaîtra la quantité de chaleur qui, dans l’état