Page:Fourier - Théorie analytique de la chaleur, 1822.djvu/174

142

THÉORIE DE LA CHALEUR.

l’action du milieu, troublent la diffusion de la chaleur en l’assujétissant à une condition accidentelle.

149.

On peut aussi considérer sous un autre point de vue cette équation (B), qui se rapporte à l’état de la surface ; il faut auparavant déduire une conséquence remarquable du théorème III (art. 140). Nous conserverons la construction rapportée dans le corollaire du même théorème (art. 141). Soient $x,\,y,\,z$ les coordonnées du point $p$ et

$x+\delta x,\,y+\delta y,\,z+\delta z,$

celles d’un point $q$ infiniment voisin de $p,$ et marqué sur la droite dont il s’agit ; désignons par $v$ et $w$ les températures des deux points $p$ et $q$ prises pour le même instant, on aura

$w=v+\delta v=v+{\frac {dv}{dx}}\delta x+{\frac {dv}{dy}}\delta y+{\frac {dv}{dz}}\delta z\,;$

donc le quotient

${\frac {\delta v}{\delta \varepsilon }}={\frac {dv}{dx}}{\frac {\delta x}{\delta \varepsilon }}+{\frac {dv}{dy}}{\frac {\delta y}{\delta \varepsilon }}+{\frac {dv}{dz}}{\frac {\delta z}{\delta \varepsilon }}\quad \mathrm {et} \quad \delta \varepsilon ={\sqrt {\delta x^{2}+\delta y^{2}+\delta z^{2}}}\,;$

ainsi la quantité de chaleur qui s’écoule à travers la surface ω placée au point m, perpendiculairement à la droite, est

$-\mathrm {K} \,\omega \,dt\left\{{\frac {dv}{dx}}\cdot {\frac {\delta x}{\delta \varepsilon }}+{\frac {dv}{dy}}\cdot {\frac {\delta y}{\delta \varepsilon }}+{\frac {dv}{dz}}\cdot {\frac {\delta z}{\delta \varepsilon }}\right\}\cdot$

Le premier terme est le produit de $-k{\frac {dv}{dx}}$ par $dt$ et par $\omega {\frac {\delta x}{\delta \varepsilon }}\cdot$ Cette dernière quantité est, d’après les principes de la géométrie, l’aire de la projection de ω sur le plan des $y$ et $z\,;$