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THÉORIE DE LA CHALEUR.

et parconséquent

${\begin{array}{c}z^{2}+y^{2}=r^{2}\left\{\left({\dfrac {dr}{dz}}\right)^{2}+\left({\dfrac {dr}{dy}}\right)^{2}\right\}\\2=\left({\dfrac {dr}{dz}}\right)^{2}+\left({\dfrac {dr}{dy}}\right)^{2}+r\left\{{\dfrac {d^{2}r}{dz^{2}}}+{\dfrac {d^{2}r}{dy^{2}}}\right\}\\\end{array}}$

la première équation, dont le premier membre est égal à $r^{2},$ donne

$\left({\frac {dr}{dz}}\right)^{2}+\left({\frac {dr}{dy}}\right)^{2}=1\qquad ({\boldsymbol {b}})\,;$

La seconde donne, lorsqu’on met pour

$\left({\frac {dr}{dz}}\right)^{2}+\left({\frac {dr}{dy}}\right)^{2}$

sa valeur 1

${\frac {d^{2}r}{dz^{2}}}+{\frac {d^{2}r}{dy^{2}}}={\frac {1}{r}}\qquad ({\boldsymbol {c}}).$

Si maintenant on substitue dans l’équation $(a)$ les valeurs données par les équations $(b)$ et $(c),$ on aura

${\frac {d^{2}v}{dz^{2}}}+{\frac {d^{2}v}{dy^{2}}}={\frac {d^{2}v}{dr^{2}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {dv}{dr}}\cdot$

Donc l’équation qui exprime le mouvement de la chaleur dans le cylindre, est

${\frac {dv}{dt}}={\frac {\mathrm {K} }{\mathrm {C.D} }}\left({\frac {d^{2}v}{dr^{2}}}+{\frac {1}{r}}\cdot {\frac {dv}{dr}}\right),$

comme on l’a trouvé précédemment, art. 119.

On pourrait aussi ne point supposer que les molécules également éloignées de l’axe, ont reçu une température initiale commune ; dans ce cas on parviendrait à une équation beaucoup plus générale.

156.

Pour déterminer, au moyen de l’équation (A), le mouve-