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CHAPITRE III.

une valeur quelconque comprise entre $-{\tfrac {1}{2}}\pi$ et $+{\tfrac {1}{2}}\pi .$ Il faut ajouter que cette fonction $\varphi (x,y)$ doit devenir extrêmement petite lorsqu’on donne à $x$ une valeur très-grande, puisque toute la chaleur sort du seul foyer A.

167.

Afin de considérer la question dans ses éléments, on cherchera en premier lieu les plus simples fonctions de $x$ et $y,$ qui puissent satisfaire à l’équation $(a)\,;$ ensuite on donnera à cette valeur de $v$ une expression plus générale, afin de remplir toutes les conditions énoncées. Par ce moyen la solution acquerra toute l’étendue qu’elle doit avoir, et l’on démontrera que la question proposée ne peut admettre aucune autre solution.

Les fonctions de deux variables se réduisent souvent à une expression moins composée, lorsqu’on attribue à l’une des variables ou à toutes les deux une valeur infinie ; c’est ce que l’on remarque dans les fonctions algébriques qui, dans ce cas, équivalent au produit d’une fonction de $x$ par une fonction de $y.$ Nous examinerons d’abord si la valeur de $v$ peut être représentée par un pareil produit ; car cette fonction $v$ doit représenter l’état de la lame dans toute son étendue, et par conséquent celui des points dont la coordonnée $x$ est infinie. On écrira donc $v=\mathrm {F} x.fy,$ substituant dans l’équation $(a)$ et désignant ${\frac {d^{2}(\mathrm {F} x)}{dx^{2}}}$ par $\mathrm {F} ''x$ et ${\frac {d^{2}(fy)}{dy^{2}}}$ par $f''y,$ on aura ${\frac {\mathrm {F} ''(x)}{Fx}}+{\frac {f''(y)}{fy}}=0\,;$ on pourra donc supposer ${\frac {\mathrm {F} ''(x)}{Fx}}=m$ et ${\frac {f''(y)}{fy}}=-m,$ $m$ étant une constante quelconque, et comme on se propose seulement de trouver une