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CHAPITRE III.

177.

C’est ainsi qu’on est parvenu à effectuer entièrement les éliminations et à déterminer les coëfficients $a,b,c,d,$ etc., de l’équation

$1=a\cos .x+b\cos .3x+c\cos .5x+d\cos .7x+e\cos .9x+\mathrm {etc.}$

La substitution de ces coëfficients, donne l’équation suivante :

${\begin{aligned}{\tfrac {\pi }{4}}=\cos .y-{\tfrac {1}{3}}\cos .3y+{\tfrac {1}{5}}\cos .5y-{\tfrac {1}{7}}\cos .7y&\\+{\tfrac {1}{9}}\cos .9y-{\tfrac {1}{11}}\cos .11y\;+\;&\mathrm {etc.} \end{aligned}}$

Le second membre est une fonction de $y,$ qui ne change point de valeur quand on donne à la variable $y$ une valeur comprise entre $-{\tfrac {1}{2}}\pi$ et $+{\tfrac {1}{2}}\pi .$ Il serait aisé de prouver que cette série est toujours convergente, c’est-à-dire que, en mettant au lieu de $y$ un nombre quelconque, et en poursuivant le calcul des coëfficients, on approche de plus en plus d’une valeur fixe, en sorte que la différence de cette valeur à la somme des termes calculés, devient moindre que toute grandeur assignable. Sans nous arrêter à cette démonstration, que le lecteur peut suppléer, nous ferons remarquer que la valeur fixe, dont on approche continuellement, est ${\tfrac {1}{4}}\pi ,$ si la valeur attribuée à $y$ est comprise entre 0 et ${\tfrac {1}{2}}\pi ,$ mais qu’elle est $-{\tfrac {1}{4}}\pi ,$ si $y$ est comprise entre ${\tfrac {1}{2}}\pi$ et ${\tfrac {3}{2}}\pi \,;$ car, dans ce second intervalle, chaque terme de la série change de signe. En général la limite de la série est alternativement positive et négative ; au reste, la convergence n’est