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THÉORIE DE LA CHALEUR.

On déduit aussi de l’équation $(\alpha )$

${\begin{aligned}{}-\mathrm {K} {\frac {dv}{dy}}={\frac {4\mathrm {K} }{\pi }}\left(e^{-x}\sin .y-e^{-3x}\right.&\sin .3y+e^{-5x}\sin .5y\\&\left.-e^{-7x}\sin .7y+\cdot \;\right)\,;\\\end{aligned}}$

donc l’intégrale $\textstyle \int -\mathrm {K} \left({\frac {dv}{dy}}\right)dx,$ prise depuis $x=0$ est

${\begin{aligned}{}{\frac {4\mathrm {K} }{\pi }}\left(\left(1-e^{-x}\right)\sin .y-\left(1-e^{-3x}\right)\sin .3y\right.&\\\left.+\left(1-e^{-5x}\right)\sin .5y-\left(1-e^{-7x}\right)\sin .7y+\mathrm {etc.} \right)&\end{aligned}}$

Si l’on retranche cette quantité de la valeur qu’elle prend lorsqu’on y fait $x$ infinie, on trouvera :

${\frac {4\mathrm {K} }{\pi }}\left(e^{-x}\sin .y-{\frac {1}{3}}e^{-3x}\sin .3y+{\frac {1}{5}}e^{-5x}\sin .5y-\mathrm {etc.} \right),$

et, en faisant $y={\tfrac {1}{2}}\pi ,$ on aura l’expression de la quantité totale de chaleur qui traverse l’arête infinie C, depuis le point dont la distance à l’origine est $x,$ jusqu’à l’extrémité de la lame : cette quantité est

${\frac {4\mathrm {K} }{\pi }}\left(e^{-x}+{\frac {1}{3}}e^{-3x}+{\frac {1}{5}}e^{-5x}+{\frac {1}{7}}e^{-7x}+\mathrm {etc.} \right)\;$

on voit qu’elle équivaut à la moitié de celle qui pénètre pendant le même temps au-delà de la ligne transversale tracée sur la lame à la distance $x$ de l’origine. Nous avons déjà remarqué que ce résultat est une conséquence nécessaire des conditions de la question ; s’il n’avait pas lieu, la partie de la lame qui est placée au-delà de la ligne transversale et se pro-