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THÉORIE DE LA CHALEUR.

champ que la première est $\mathrm {arc.tang.} \,e^{-(x-y{\sqrt {-1}})}$, et que la seconde est $\mathrm {arc.tang.} \,e^{-(x+y{\sqrt {-1}})}\,;$ ainsi l’équation $(\alpha )$ prend cette forme finie,

${\frac {\pi \,v}{2}}=\mathrm {arc.tang.} \,e^{-(x+y{\sqrt {-1}})}+\mathrm {arc.tang.} \,e^{-(x-y{\sqrt {-1}})}\cdot \qquad ({\boldsymbol {\mathrm {B} }})$

C’est de cette manière qu’elle rentre dans l’intégrale générale

$v=\varphi (x+y{\sqrt {-1}})+\psi (x-y{\sqrt {-1}})\qquad ({\boldsymbol {\mathrm {A} }})\,;$

la fonction $\varphi (z)$ est $\mathrm {arc.tang.} \,e^{-z},$ et il en est de même de la fonction $\psi (z).$

Si dans l’équation (B) on désigne le premier terme du second membre par $p$ et le second par $q,$ on aura

${\frac {1}{2}}\pi \,v=p+q,\quad \mathrm {tang.} p=e^{-(x+y{\sqrt {-1}})},\quad \mathrm {tang.} q=e^{-(x-y{\sqrt {-1}})}\,;$

$\mathrm {donc} \;\;\mathrm {tang.} (p+q)\;\mathrm {ou} \;{\frac {\mathrm {tang.} p+\mathrm {tang.} q}{1-\mathrm {tang.} p.\mathrm {tang.} q}}={\frac {2e^{-x}.\cos .y}{1-e^{-2x}}}={\frac {2\cos .y}{e^{x}-e^{-x}}},$

on en déduit l’équation $\quad {\frac {1}{2}}\pi v=\mathrm {arc.tang.} \left({\frac {2\cos .y}{e^{x}-e^{-x}}}\right)\qquad ({\boldsymbol {c}}).$

C’est la forme la plus simple sur laquelle on puisse présenter la solution de la question.

206.

Cette valeur de $v$ ou $\varphi (x,y)$ satisfait aux conditions relatives aux extrémités du solide qui sont $\varphi (x,\pm {\tfrac {1}{2}}\pi )=0$