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THÉORIE DE LA CHALEUR.

210.

Il faut passer maintenant à la recherche des coëfficients suivants $b\,c\,d\,e\,f\dots$ etc., qui d’après les équations $(e)$ dépendent des quantités $b_{2}\,c_{3}\,d_{4}\,e_{5}\,f_{6}\dots$ etc. On reprendra pour cela les équations $(b)$ ; la première a déjà été employée pour trouver la valeur de $a_{1}$ ; les deux suivantes donnent la valeur de $b_{2}\,;$ les trois suivantes la valeur de $c_{3}\,;$ les quatre suivantes la valeur de $d_{4},$ ainsi de suite.

En effectuant le calcul, on trouvera, à la seule inspection des équations, pour les valeurs de $b_{2}\,c_{3}\,d_{4}\,e_{5}\dots$ etc, les résultats suivants :

${\begin{array}{l}2b_{2}(1^{2}\!-\!2^{2})=\mathrm {A} _{2}1^{2}\!-\!\mathrm {B} _{2}\\3c_{3}(1^{2}\!-\!3^{2})(2^{2}\!-\!3^{2})=\mathrm {A} _{3}1^{2}\!\!.2^{2}\!-\!\mathrm {B} _{3}(1^{2}\!+\!2^{2})\!+\!\mathrm {C} _{3}\\4d_{4}(1^{2}\!-\!4^{2})(2^{2}\!-\!4^{2})(3^{2}\!-\!4^{2})=\mathrm {A} _{4}1^{2}\!\!.2^{2}\!\!.3^{2}\!-\!\mathrm {B} _{4}(1^{2}\!\!.2^{2}\!+\!1^{2}\!\!.3^{2}\!+\!2^{2}\!\!.3^{2})\!+\!\mathrm {C} _{4}(1^{2}\!+\!2^{2}\!+\!3^{2})\!-\!\mathrm {D} _{4}\\5d_{5}(1^{2}\!-\!5^{2})(2^{2}\!-\!5^{2})(3^{2}\!-\!5^{2})(4^{2}\!-\!5^{2})=\mathrm {A} _{5}1^{2}\!\!.2^{2}\!\!.3^{2}\!\!.4^{2}\!-\!\mathrm {B} _{5}(1^{2}\!\!.2^{2}\!\!.3^{2}\!+\!1^{2}\!\!.2^{2}\!\!.4^{2}\!+\!1^{2}\!\!.3^{2}\!\!.4^{2}\!+\!2^{2}\!\!.3^{2}\!\!.4^{2})\\\qquad \qquad \qquad \qquad \!+\!\mathrm {C} _{5}(1^{2}\!\!.2^{2}\!+\!1^{2}\!\!.3^{2}\!+\!1^{2}\!\!.4^{2}\!+\!2^{2}\!\!.3^{2}\!+\!2^{2}\!\!.4^{2}\!+\!3^{2}.4^{2})\!-\!\mathrm {D} _{5}(1^{2}\!+\!2^{2}\!+\!3^{2}\!+\!4^{2})\!+\!\mathrm {E} _{5}\\\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \mathrm {etc.} \\\end{array}}$

La loi que suivent ces équations est facile à saisir ; il ne reste plus qu’à déterminer les quantités

$\mathrm {A} _{2}\mathrm {B} _{2}\;\mathrm {A} _{3}\mathrm {B} _{3}\mathrm {C} _{3}\;\mathrm {A} _{4}\mathrm {B} _{4}\mathrm {C} _{4}\;\mathrm {etc.}$

Or, les quantités $\mathrm {A_{2}\,B_{2}}$ peuvent être exprimées en $\mathrm {A_{3}\,B_{3}\,C_{3}} ,$ ces dernières en $\mathrm {A_{4}\,B_{4}\,C_{4}\,D_{4}}$ etc. Il suffit pour cela d’opérer les substitutions indiquées par les équations $(d)\,;$ ces changements successifs réduiront les seconds membres des équations précédentes à ne contenir que les quantités $\mathrm {A\,B\,C\,D}$ etc., avec un indice infini, c’est-à-dire, les quantités connues